¿Por qué el potencial de calibre es AμAμA_{\mu} en el álgebra de Lie del grupo de calibre GGG?

El potencial de calibre es un objeto que, cuando se introduce en la derivada covariante, pretende cancelar los términos que estropean la transformación lineal del campo bajo el grupo de calibre. Cada transformación de calibre$g:\Sigma\to G$(en un espacio-tiempo$\Sigma$) conectado a la identidad puede escribirse como$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi(x)}$por algo de álgebra de mentira valorada$\chi: \Sigma\to\mathfrak{g}$. La derivada de un campo transformado es

$$\partial_\mu(g\phi) = \partial_\mu(g)\phi + g\partial_\mu\phi = g(g^{-1}(\partial_\mu g) + \partial_\mu)\phi$$ y es el $g^{-1}(\partial_\mu g) = \partial_\mu\chi$que queremos cancelar aquí agregando el campo de indicador para que $D_\mu(g\phi) = gD_\mu\phi$. Desde $\partial_\mu\chi$Si se valora el álgebra de Lie, también debe hacerlo el campo calibre. $A$añadimos, y tiene que transformarse como $$A\overset{g(x)}{\mapsto} gAg^{-1} - g^{-1}\mathrm{d} g$$ para cancelar los términos que queremos cancelar.