Teorías de calibre de monopolos magnéticos

1) Los grupos de cobertura universal son grupos con la propiedad de estar simplemente conectados. Cada álgebra tiene un grupo de cobertura único. Los otros grupos,$\{G\}$, asociado a la misma álgebra se puede obtener del grupo de cobertura de la siguiente forma

$$G=\frac{\tilde G}{Ker(\rho)},$$ dónde $Ker(\rho)$es el núcleo del homomorfismo de grupo $\rho:\tilde G\rightarrow G$. Una vez que haya definido una representación particular, podrá calcular este kernel. Por ejemplo, comienzas con un $\mathfrak{su}(2)$álgebra. Entonces, si elige la representación adjunta, puede mostrar que $Ker(\rho)=\mathbb Z_2$y el grupo sera $G=SU(2)/\mathbb Z_2=SO(3)$. Por otro lado, si eliges la representación definitoria obtienes $Ker(\rho)=\mathbb 1$y $G=SU(2)/\mathbb 1=SU(2)$.

2) Un monopolo magnético topológico tiene que satisfacer la condición de cuantificación

$$e^{ieQ_m}=\mathbb 1,$$ dónde $Q_m$es la carga magnética (no abeliana). Esta es una generalización de la condición de cuantificación de Dirac . Se puede demostrar que para satisfacer esta condición el $U(1)$tiene que ser compacto porque la carga eléctrica también tiene que ser cuantificada. No estoy muy seguro del resultado que está afirmando: "un compacto $G$con revestimiento compacto $\tilde G$implica en $U(1)$compacto". El resultado que sé es que cuando tienes una ruptura de simetría espontánea $G\rightarrow K\times U(1)$, el $U(1)$es compacto si $G$y $K$ambos son semisimples . De lo contrario $U(1)$puede ser no compacto.

3) Los monopolos magnéticos no se construyen con cargas eléctricas. Sin embargo, se obtienen en teorías de gauge quebradas espontáneamente que, en general, tienen cargas eléctricas en su espectro. Supongo que solo quiso decir que las cargas eléctricas cuantificadas implican cargas magnéticas cuantificadas y viceversa.