Interpretación física de las propiedades del soporte de Poisson

Supongamos que no hay una dependencia temporal explícita y que nuestro corchete de Poisson$\{,\}$- Prefiero corchetes que cuadrados$[,]$se puede usar para denotar el conmutador de campos vectoriales - no es singular, es decir, hay un producto simpléctico correspondiente$\omega$.

La derivada del tiempo

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}=\{\,\cdot\,,H\}$$ es en realidad la derivada de Lie con respecto al campo vectorial hamiltoniano $X_H$dada por $$X_H\rfloor\omega \equiv \mathrm dH$$ disfrazado como se puede ver por $$\{f,H\} \equiv \omega(X_f,X_H)=(X_f\rfloor\omega)(X_H)=\mathrm df(X_H)=\mathcal{L}_{X_H}f$$ Como $\mathcal{L}_{X_H}$es un operador diferencial lineal que respeta la regla de Leibniz, también lo es $\{\,\cdot\,,H\}$.

La antisimetría se traduce en

$$\mathcal{L}_{X_f}g = -\mathcal{L}_{X_g}f$$ es decir, el cambio de $g$con respecto al flujo hamiltoniano inducido por $f$es el negativo del cambio en $f$con respecto al flujo hamiltoniano inducido por $g$.

Reescribiendo la identidad de Jacobi como

$$\{f ,\{g,h\}\} = \{\{f,g\},h\} - \{\{f,h\},g\}$$ vemos eso $$\mathcal{L}_{X_{\{g,h\}}}f=\left(\mathcal{L}_{X_h}\mathcal{L}_{X_g} - \mathcal{L}_{X_g}\mathcal{L}_{X_h}\right)f = \mathcal{L}_{[X_h,X_g]}f$$ es decir $f\mapsto X_f$es un homomorfismo de Lie-álgebra.

La interpretación física es que las condiciones de integrabilidad se satisfacen en la variedad. De la primera ecuación, si tomara A que no depende de 't' explícitamente, entonces dA/dt = [A,H]. El corchete de Poisson contiene en él la dinámica involucrada en variables canónicamente conjugadas y en mecánica clásica podemos medirlas simultáneamente. Aparte de esto, las leyes de conservación se pueden ver explícitamente en esta representación.

Un factor importante a tener en cuenta es que los corchetes de Poisson son válidos solo para diferenciales exactos y siguen las transformaciones canónicas. De hecho, las transformaciones canónicas no son más que la invariancia de los corchetes de Poisson.

Si consideramos por simplicidad un espacio de fase 2d (q,p), entonces podemos interpretar el paréntesis de Poisson entre dos funciones f(q,p) y g(q,p) como el producto vectorial de sus gradientes, que son campos vectoriales en este plano:

$[f,g]=(\nabla f\times \nabla g)\cdot \mathbf{e}_z$

dónde$e_z$es un vector unitario perpendicular al plano.

De esa definición todas las propiedades son obvias.

Podemos imaginar la siguiente analogía física para la ecuación de movimiento, el gradiente del hamiltoniano actúa como campo magnético$B$y el gradiente de la función es la velocidad$v$, en fórmulas:

$\partial_tf\, \mathbf{e}_z= \nabla f\times \nabla H = \mathbf{v} \times \mathbf{B}$

que es la expresión de la fuerza de Lorentz.