El siguiente párrafo aparece en la página 6 de las conferencias TASI de Morrison sobre compactación y dualidad :
La acción de la hoja mundial para las cadenas en un toro depende de la elección de una métrica plana en el toro y de la elección del campo de dos formas NS-NS (el "campo B"). Podemos separar el volumen como un parámetro separado y recordar que el espacio de las métricas planas del volumen uno en un toro se puede describir como . Por lo tanto, todo el espacio de parámetros es
con identificaciones discretas procedente de dos fuentes: difeomorfismos de (que contribuyen ) y desplazamientos integrales del campo B (que contribuyen ). El grupo discreto total que surge de este análisis geométrico es ).
En general, si tiene dos factores que contribuyen a una simetría discreta (o continua), la acción combinada es un producto directo de los factores si sus acciones se conmutan y un producto semidirecto si sus acciones no se conmutan.
El espacio de las 2 formas en d-dimensiones es . Veo por qué tenemos los dos factores en pero ¿por qué necesitamos un producto semidirecto? Tengo entendido que es como lo que tenemos para el grupo de Poincaré, que es un producto semidirecto de las traducciones (aquí reemplazado por ) y el grupo de Lorentz (aquí reemplazado por difeomorfismos).
¿Es esta la forma correcta de pensar sobre esto?
Tienes un producto semidirecto siempre que una parte del producto actúe sobre la otra de manera no trivial.
Dados dos grupos y , puede que sepas que hacer una transformación también actúa sobre los elementos de de alguna manera definida por un homomorfismo , y la operación de grupo sobre el producto semidirecto viene dada por (el orden de los elementos y si el actúa sobre el primer o segundo elemento depende de la definición exacta que esté usando).
Ahora, en su caso, los difeomorfismos pueden actuar naturalmente sobre las formas diferenciales por retroceso, pero el retroceso de una forma diferencial que se ha desplazado no es necesariamente el desplazamiento del retroceso por el mismo , así que de hecho actúa sobre de alguna manera. Esto no es exactamente análogo al producto semidirecto en el grupo de Poincaré porque el no actúe sobre el toro en sí como lo harían las "traducciones", sino que cambie directamente la forma 2 .