Ferromagneto cuántico

Question

Ferromagneto cuántico

DecanoLaMáquina

Me encontré con el siguiente ejercicio.

El ferroimán cuántico de Heisenberg, que está especificado por el hamiltoniano:

\hat{H} = - j \sum_{⟨ metro norte ⟩} {\hat{\vec{S}}}_{metro} \cdot {\hat{\vec{S}}}_{norte},

$\hat{H} = - J\sum_{\langle m n \rangle} \hat{\vec{S}}_m \cdot \hat{\vec{S}}_n,$

dónde $J>0, \hat{\vec{S}}_m$ representa el operador de espín de la mecánica cuántica en el sitio de red m, $\langle mn \rangle$ denota la suma sobre los sitios vecinos y $\vec{S}_m ^2 = S(S+1)$ . Ahora introducimos la siguiente transformación:

{\hat{S}}_{metro}^{-} = a_{metro}^{†} (2 S - a_{metro}^{†} a_{metro})^{1 / 2}, {\hat{S}}_{metro}^{+} = (2 S - a_{metro}^{†} a_{metro})^{1 / 2} a_{metro}, {\hat{S}}_{metro}^{z} = S - a_{metro}^{†} a_{metro} .

$\hat{S}_m^- = a^{\dagger}_m (2S - a^{\dagger}_m a_m )^{1/2}, \ \ \ \hat{S}_m^+ = (2S - a^{\dagger}_m a_m )^{1/2} a_m, \ \ \ \hat{S}_m^z = S- a_m^{\dagger}a_m.$

Ahora miramos el problema unidimensional y ponemos la constante de red a la unidad. A bajas temperaturas, por $S<<1/2$ esperamos que las desviaciones de la magnetización de su valor sean muy pequeñas, es decir $S - \langle S_m^z \rangle = \langle a_m^{\dagger}a_m \rangle <<S$ . En este caso podemos ampliar $(2S - a^{\dagger}_m a_m )^{1/2}$ en poderes de $a^{\dagger}_m a_m$ .

Muestre que a primer orden en $a_m^{\dagger}a_m /S$ el hamiltoniano de Heisenberg toma la forma

\hat{H} = - j norte S^{2} + j S \sum_{metro} (a_{metro + 1}^{†} - a_{metro}^{†}) (a_{metro + 1} - a_{metro}) + términos de orden superior.

$\hat{H} = - J N S^2 + J S \sum_m \left( a_{m+1}^{\dagger} - a_{m}^{\dagger} \right) \left( a_{m+1} - a_{m} \right) + \text{higher order terms.}$

Ahora también demuestre que si transformamos Fourier a los operadores, el hamiltoniano toma la forma

\hat{H} = - j norte S^{2} + \sum_{k} ℏ ω_{k} α_{k}^{†} α_{k} + términos de orden superior

$\hat{H}= - J N S^2 + \sum_k \hbar \omega_k \alpha_k^{\dagger} \alpha_k + \text{higher order terms}$

con $\hbar \omega_k = 4 J S \sin^2(k/2)$ .

Ahora no entiendo por el primer hamiltoniano lo que debo hacer. Mi primera conjetura es hacer una aproximación de campo medio, ya que tenemos el valor esperado. Pero este enfoque no me da los términos cruzados deseados. Además, tengo dificultades para saber qué hacer con el producto escalar entre $S_m$ y $S_n$ . ¿Necesitaríamos escribir el producto interno, invertir nuestros operadores para obtener $\hat{S}_x$ y $\hat{S}_y$ ? Dado que esto parece realmente demasiado complicado.

Entonces para la transformada de Fourier obtengo $2 \sin^2(k/a)$ y me pregunto si el ejercicio es incorrecto o si cometí un pequeño error.

Respuestas (2)

Ferromagneto cuántico

usuario1792605 · Answer 1

$\newcommand{\Sz}[1]{\hat {S^{z}_\text{$#1$}} }$ $\newcommand{\Sx}[1]{\hat {S^{x}_\text{$#1$}} }$ $\newcommand{\Sy}[1]{\hat {S^{y}_\text{$#1$}} }$ $\newcommand{\Splus}[1]{\hat {S}^{+}_\text{$#1$} }$ $\newcommand{\Smin}[1]{\hat {S}^{-}_\text{$#1$} }$ $\newcommand{\ad}[1]{ a^{\dagger}_\text{$#1$} }$ $\newcommand{\a}[1]{ a_\text{$#1$} }$

Muy bien, he terminado tu problema.

En primer lugar, escriba el operador de espín de la mecánica cuántica en términos de los operadores de escalera. $\hat{\textbf{S}}_m = ( \Sx{m},\Sy{m},\Sz{m} )$ . Ahora usamos las relaciones conocidas de los operadores de escalera y estos operadores espaciales para reescribir en términos de operadores de escalera. $\Sx{m} = \frac{1}{2}(\Splus{m} + \Smin{m}), \Sy{m} = \frac{1}{2i}(\Splus{m} - \Smin{m})$ y de las relaciones de conmutación se sigue que $\Sz{m} = S - a^{\dagger}_m a_m$ como se da en su ejercicio.

Ahora calculemos este producto interno que tienes en el hamiltoniano por algunos $l,m$ :

\begin{aligned} {\hat{S}}_{yo} \cdot {\hat{S}}_{metro} & = \hat{S_{yo}^{X}} \hat{S_{metro}^{X}} + \hat{S_{yo}^{y}} \hat{S_{metro}^{y}} + \hat{S_{yo}^{z}} \hat{S_{metro}^{z}} \\ = \frac{1}{2} ({\hat{S}}_{yo}^{+} + {\hat{S}}_{yo}^{-}) \frac{1}{2} ({\hat{S}}_{metro}^{+} + {\hat{S}}_{metro}^{-}) + \frac{1}{2 i} ({\hat{S}}_{yo}^{+} - {\hat{S}}_{yo}^{-}) \frac{1}{2 i} ({\hat{S}}_{metro}^{+} - {\hat{S}}_{metro}^{-}) + S^{2} - S a_{yo}^{†} a_{yo} - S a_{metro}^{†} a_{metro} + a_{yo}^{†} a_{yo} a_{metro}^{†} a_{metro} \\ = \frac{1}{4} ({\hat{S}}_{yo}^{+} {\hat{S}}_{metro}^{+} + {\hat{S}}_{yo}^{-} {\hat{S}}_{metro}^{+} + {\hat{S}}_{yo}^{+} {\hat{S}}_{metro}^{-} + {\hat{S}}_{yo}^{-} {\hat{S}}_{metro}^{-}) - \frac{1}{4} ({\hat{S}}_{yo}^{+} {\hat{S}}_{metro}^{+} - {\hat{S}}_{yo}^{-} {\hat{S}}_{metro}^{+} - {\hat{S}}_{yo}^{+} {\hat{S}}_{metro}^{-} + {\hat{S}}_{yo}^{-} {\hat{S}}_{metro}^{-}) + S^{2} - S a_{yo}^{†} a_{yo} - S a_{metro}^{†} a_{metro} + a_{yo}^{†} a_{yo} a_{metro}^{†} a_{metro} \\ = \frac{1}{2} ({\hat{S}}_{yo}^{-} {\hat{S}}_{metro}^{+} + {\hat{S}}_{yo}^{-} {\hat{S}}_{metro}^{-}) + S^{2} - S a_{yo}^{†} a_{yo} - S a_{metro}^{†} a_{metro} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\textbf{S}}_l \cdot \hat{\textbf{S}}_m &= \Sx{l} \Sx{m} + \Sy{l} \Sy{m} + \Sz{l} \Sz{m} \\ &= \frac{1}{2}(\Splus{l} + \Smin{l})\frac{1}{2}(\Splus{m} + \Smin{m}) + \frac{1}{2i}(\Splus{l} - \Smin{l}) \frac{1}{2i}(\Splus{m} - \Smin{m}) + S^2 - Sa^{\dagger}_l a_l - Sa^{\dagger}_m a_m + a^{\dagger}_l a_la^{\dagger}_m a_m \\ &= \frac{1}{4} ( \Splus{l} \Splus{m} + \Smin{l} \Splus{m} + \Splus{l} \Smin{m} + \Smin{l}\Smin{m}) - \frac{1}{4} ( \Splus{l} \Splus{m} - \Smin{l} \Splus{m} - \Splus{l} \Smin{m} + \Smin{l}\Smin{m}) + S^2 - Sa^{\dagger}_l a_l - Sa^{\dagger}_m a_m + a^{\dagger}_l a_la^{\dagger}_m a_m \\ &= \frac{1}{2}(\Smin{l} \Splus{m} + \Smin{l}\Smin{m}) + S^2 - Sa^{\dagger}_l a_l - Sa^{\dagger}_m a_m \end{align}$

Donde hemos omitido el término de orden superior $a^{\dagger}_l a_la^{\dagger}_m a_m$ . Ahora reescribimos los operadores de escalera en términos de operadores de creación como se sugiere en su pregunta, pero primero reescribamos un poco estas expresiones usando $S - \langle S_m^z \rangle = \langle a_m^{\dagger}a_m \rangle <<S$ entonces $(1 - \frac{a_m^{\dagger}a_m}{2S})^{1/2} = 1$ .

\begin{aligned} {\hat{S}}_{metro}^{-} & = a_{metro}^{†} (2 S - a_{metro}^{†} a_{metro})^{1 / 2} = a_{metro}^{†} \sqrt{2 S} (1 - \frac{a_{metro}^{†} a_{metro}}{2 S})^{1 / 2} = \sqrt{2 S} a_{metro}^{†} \\ {\hat{S}}_{metro}^{+} & = (2 S - a_{metro}^{†} a_{metro})^{1 / 2} a_{metro} = \sqrt{2 S} a_{metro} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{S}_m^- &= a^{\dagger}_m (2S - a^{\dagger}_m a_m )^{1/2} = a^{\dagger}_m \sqrt{2S} (1 - \frac{a^{\dagger}_m a_m}{2S} )^{1/2} = \sqrt{2S} \ a^{\dagger}_m \\ \hat{S}_m^+ &= (2S - a^{\dagger}_m a_m )^{1/2} a_m = \sqrt{2S} \ a_m\\ \end{align}$

Su pregunta simplifica la solución al verificar solo al vecino más cercano. Eso reduce el hamiltoniano a solo:

\hat{H} = - j \sum_{metro = 1}^{norte} {\hat{S}}_{metro} \cdot {\hat{S}}_{metro + 1}

$\hat{H} = - J\sum_{m=1}^N \hat{\textbf{S}}_m \cdot \hat{\textbf{S}}_{m+1}$

Conectando todas nuestras derivaciones y reescribiendo un poco da:

\begin{aligned} \hat{H} & = - j \sum_{metro = 1}^{norte} \frac{1}{2} ({\hat{S}}_{metro}^{-} {\hat{S}}_{metro + 1}^{+} + {\hat{S}}_{metro + 1}^{-} {\hat{S}}_{metro}^{-}) + S^{2} - S a_{metro}^{†} a_{metro} - S a_{metro + 1}^{†} a_{metro + 1} \\ = - j \sum_{metro = 1}^{norte} S (a_{metro}^{†} a_{metro + 1} + a_{metro + 1}^{†} a_{metro}^{†}) + S^{2} - S a_{metro}^{†} a_{metro} - S a_{metro + 1}^{†} a_{metro + 1} \\ = - j \sum_{metro = 1}^{norte} S^{2} + S (a_{metro}^{†} (a_{metro + 1} - a_{metro}) + a_{metro + 1}^{†} (a_{metro} - a_{metro + 1})) \\ = - j norte S^{2} - j S \sum_{metro = 1}^{norte} (a_{metro}^{†} - a_{metro + 1}^{†}) (a_{metro + 1} - a_{metro}) \\ = - j norte S^{2} + j S \sum_{metro = 1}^{norte} (a_{metro + 1}^{†} - a_{metro}^{†}) (a_{metro + 1} - a_{metro}) \end{aligned}

$\begin{align} \hat{H} &= - J\sum_{m=1}^N \frac{1}{2}(\Smin{m} \Splus{m+1} + \Smin{m+1}\Smin{m}) + S^2 - Sa^{\dagger}_m a_m - Sa^{\dagger}_{m+1} a_{m+1} \\ &= - J\sum_{m=1}^N S(\ad{m}\a{m+1} + \ad{m+1}\ad{m} ) + S^2 - S\ad{m}\a{m} - S\ad{m+1}\a{m+1} \\ &= - J\sum_{m=1}^N S^2 + S(\ad{m}(\a{m+1} - \a{m}) + \ad{m+1}(\a{m} - \a{m+1})) \\ &= -JNS^2 - JS \sum_{m=1}^N(\ad{m} - \ad{m+1})(\a{m+1} - \a{m}) \\ &= -JNS^2 + JS \sum_{m=1}^N(\ad{m+1} - \ad{m})(\a{m+1} - \a{m}) \end{align}$

Lê Dũng · Answer 2

Dado que este es un problema unidimensional, se puede reescribir el hamiltoniano de la siguiente manera:

H = - j \sum_{metro = 1}^{norte} {\vec{S}}_{metro} {\vec{S}}_{metro + 1}

$H=-J\sum_{m=1}^{N}\vec{S}_m\vec{S}_{m+1}$ con

S_{N + 1} = S_{1}

$S_{N+1} = S_1$ (condición de contorno periódica, por ejemplo)

$S^+$ y $S^-$ son operadores de escalera del momento angular de espín $\vec{S}$ y tienen la siguiente forma:

S^{\pm} = S^{X} \pm i S^{y}

$S^{\pm} = S^x\pm iS^y$ Entonces:

S^{X} = \frac{S^{+} + S^{-}}{2}, S^{y} = \frac{S^{+} - S^{-}}{2 i}

$S^x = \frac{S^+ + S^-}{2}, S^y = \frac{S^+ - S^-}{2i}$ Ahora, calculamos

{\vec{S}}_{m} {\vec{S}}_{m + 1}

$\vec{S}_m\vec{S}_{m+1}$ .

{\vec{S}}_{metro} {\vec{S}}_{metro + 1} = S_{metro}^{X} S_{metro + 1}^{X} + S_{metro}^{y} S_{metro + 1}^{y} + S_{metro}^{z} S_{metro + 1}^{z} = \frac{1}{2} (S_{metro}^{+} S_{metro + 1}^{-} + S_{metro}^{-} S_{metro + 1}^{+}) + S_{metro}^{z} S_{metro + 1}^{z}

$\vec{S}_m\vec{S}_{m+1} = S^x_mS^x_{m+1} + S^y_mS^y_{m+1} + S^z_mS^z_{m+1} = \frac{1}{2}\left(S^+_mS^-_{m+1}+S^-_mS^+_{m+1}\right)+S^z_mS^z_{m+1}$ También tenemos (a primer orden):

(2 S - a^{†} a)^{1 / 2} \approx (2 S)^{1 / 2} (1 - \frac{a^{†} a}{4 S})

$(2S - a^\dagger a)^{1/2}\approx (2S)^{1/2}\left(1 - \frac{a^\dagger a}{4S}\right)$ Sustituyendo esto en las expresiones de

S^{+}

$S^+$ y

S^{-}

$S^-$ , luego expandiendo la ecuación anterior (despreciando los términos de segundo orden y superiores), obtendrás la respuesta deseada (nota que

[a_{m}, a_{n}^{†}] = δ_{m n}

$[a_m,a^\dagger_n]=\delta_{mn}$ )

Ferromagneto cuántico

DecanoLaMáquina

Respuestas (2)

usuario1792605

Lê Dũng

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