Teorema de Noether y energía en cuatro impulsos

Question

Teorema de Noether y energía en cuatro impulsos

WillG

En la física newtoniana, el momento y la energía a menudo se tratan como entidades distintas, que se conservan por separado. En relatividad, la energía se considera como el componente "tiempo" de los cuatro impulsos. La energía y el impulso aún se conservan por separado, pero se mezclan bajo las transformaciones de Lorentz de una manera que identifica la energía con el tiempo y el impulso con el espacio.

Mientras tanto, existe una relación análoga energía:tiempo::momento:espacio en la física newtoniana, que se hace evidente en la formulación hamiltoniana. El hamiltoniano (energía) es el generador de las traducciones del tiempo, mientras que el impulso es el generador de las traducciones del espacio.

¿Cuál es el "secreto" detrás de esto? Como se señaló en los comentarios, el teorema de Noether relaciona la energía y el tiempo a través de la simetría de traducción del tiempo en la mecánica newtoniana, por lo que esta simetría probablemente también esté en juego en la relatividad. ¿Pero cómo? ¿Existe una línea clara de razonamiento que va desde el teorema de Noether + simetría de traducción del espacio-tiempo en la relatividad hasta "la energía y el momento se combinan como un vector de cuatro"?

Marius Ladegard Meyer

La respuesta a la pregunta del título es definitivamente el teorema de Noether . Pero parece que también está preguntando un punto más sutil que involucra la conexión entre la energía y el impulso en el cuerpo de la publicación, y cómo se "fusionan" en el 4-impulso relativista. ¿Estoy leyendo bien tu pregunta?

WillG

@MariusLadegårdMeyer Sí. Si el teorema de Noether es la respuesta, entonces mi pregunta es: "¿Cómo explican la simetría de traslación del tiempo + el teorema de Noether por qué tiene sentido poner energía en el componente de tiempo de cuatro impulsos?"

Marius Ladegard Meyer

Bien gracias. En mi opinión, debería actualizar la pregunta/título con esta aclaración, podría atraer mejores respuestas.

Fotón

Si la energía es el generador de la traslación del tiempo y la cantidad de movimiento es el generador de la traslación espacial, cuando ponemos la posición y el tiempo en un vector de cuatro en el espacio-tiempo, estamos automáticamente obligados a poner sus generadores, la energía y la cantidad de movimiento en un vector de cuatro en cuatro. -espacio de cantidad de movimiento dimensional.

qmecanico

La pregunta (v4) aún no está clara. Parece que la respuesta es "Así es como funciona el teorema de Noether en primer lugar".

WillG

@Qmechanic No lo veo de esa manera. Por un lado, tenemos el teorema de N que dice que la energía debe relacionarse con las traslaciones de tiempo de cierta manera en una formulación hamiltoniana de SR. Por otro lado, tenemos el hecho de que una partícula con energía

E

$E$ y el impulso

\vec{p}

$\vec p$ en un marco de referencia se observará que tiene

Λ (E, \vec{p})

$\Lambda(E,\vec p)$ en un marco de referencia cuyas coordenadas de espacio-tiempo están dadas por la transformación de Lorentz

Λ .

$\Lambda.$

WillG

Estoy de acuerdo en que esto parece bastante natural, especialmente en retrospectiva. Pero el teorema de N simplemente no dice nada acerca de cómo se transforman las cantidades bajo cambios de referencia. Así que creo que queda por explicar alguna línea de razonamiento de A a B.

Respuestas (1)

Teorema de Noether y energía en cuatro impulsos

La respuesta a la pregunta del título es definitivamente el teorema de Noether . Pero parece que también está preguntando un punto más sutil que involucra la conexión entre la energía y el impulso en el cuerpo de la publicación, y cómo se "fusionan" en el 4-impulso relativista. ¿Estoy leyendo bien tu pregunta?
@MariusLadegårdMeyer Sí. Si el teorema de Noether es la respuesta, entonces mi pregunta es: "¿Cómo explican la simetría de traslación del tiempo + el teorema de Noether por qué tiene sentido poner energía en el componente de tiempo de cuatro impulsos?"
Bien gracias. En mi opinión, debería actualizar la pregunta/título con esta aclaración, podría atraer mejores respuestas.
Si la energía es el generador de la traslación del tiempo y la cantidad de movimiento es el generador de la traslación espacial, cuando ponemos la posición y el tiempo en un vector de cuatro en el espacio-tiempo, estamos automáticamente obligados a poner sus generadores, la energía y la cantidad de movimiento en un vector de cuatro en cuatro. -espacio de cantidad de movimiento dimensional.
La pregunta (v4) aún no está clara. Parece que la respuesta es "Así es como funciona el teorema de Noether en primer lugar".
@Qmechanic No lo veo de esa manera. Por un lado, tenemos el teorema de N que dice que la energía debe relacionarse con las traslaciones de tiempo de cierta manera en una formulación hamiltoniana de SR. Por otro lado, tenemos el hecho de que una partícula con energía $E$ y el impulso $\vec p$ en un marco de referencia se observará que tiene $\Lambda(E,\vec p)$ en un marco de referencia cuyas coordenadas de espacio-tiempo están dadas por la transformación de Lorentz $\Lambda.$
Estoy de acuerdo en que esto parece bastante natural, especialmente en retrospectiva. Pero el teorema de N simplemente no dice nada acerca de cómo se transforman las cantidades bajo cambios de referencia. Así que creo que queda por explicar alguna línea de razonamiento de A a B.

Nickolas Alves · Answer 1

Prácticamente respondiste la pregunta por tu cuenta. Uno puede entender la definición misma de energía (momentum) como "La carga de Noether asociada con las traducciones de tiempo (espacio)".

Considere, por ejemplo, el Lagrangiano para una partícula relativista libre,

L = \frac{1}{2} {tu}^{m} {tu}_{m},

$L = \frac{1}{2} U^\mu U_\mu,$ dónde

U^{μ}

$U^\mu$ es la velocidad de cuatro. Si hacemos una transformación de las coordenadas

x^{μ} \to x^{μ} + ϵ ψ^{μ}

$x^\mu \to x^\mu + \epsilon\psi^\mu$ , el lagrangiano permanece invariable (todas las coordenadas son cíclicas), y por lo tanto hay alguna cantidad conservada asociada. Cosecha

ψ^{ν} = δ^{ν μ}

$\psi^\nu = \delta^{\nu\mu}$ para diferentes opciones de

ν

$\nu$ y usando el teorema de Noether, encontramos que

- \sum_{v} \frac{\partial L}{\partial {tu}^{v}} ψ^{v} = - \frac{\partial L}{\partial {tu}^{m}} = - metro {tu}_{m}

$- \sum_{\nu} \frac{\partial L}{\partial U^\nu} \psi^\nu = - \frac{\partial L}{\partial U^\mu} = - m U_\mu$ son constantes de movimiento. Vemos que podemos ordenar estas cantidades en un vector de cuatro definiendo

p^{μ} = m U^{μ}

$p^\mu = m U^\mu$ y analizando las expresiones explícitas para cada componente encontraremos que estas resultan ser precisamente la energía (que de hecho estaba asociada con las traducciones de tiempo en la Física no relativista) y los momentos (asociados con las traducciones de tiempo).

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Fotón

qmecanico

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Nickolas Alves

Derivación del componente 000 de 4-momentum utilizando el Lagrangiano relativista

Duda con Expresión Lagrangiana Relativista

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