Relatividad especial: Encontrar el Euler Lagrange de una partícula masiva

Tu última expresión (4) es igual a (2), solo tienes que darte cuenta de lo que dice.$\lambda$no es$\tau$y

$$u^c = \frac{d\xi^c}{d \tau} = \frac{d\xi^c}{d \lambda} \frac{d\lambda}{d \tau}$$ Si mira hacia atrás a su Lagrangiano y cómo se derivó, debería poder decir qué es $d\lambda/d\tau$.

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Para ser muy explícito, la acción de una partícula relativista libre es

$$S = -mc^2\int d\tau = -mc^2\int \frac{d\tau}{d\lambda} d\lambda$$ donde hemos utilizado una reparametrización en un parámetro general $\lambda$. Ahora tu tienes $$L = -mc^2 \frac{d \tau}{d \lambda}$$ Cuando comparas esto con tu ecuación (1) y con el conocimiento $d\lambda/d\tau= (d\tau/d\lambda)^{-1}$, debe obtener la expresión para $u^c$en términos de $\lambda$-Parametrización muy fácil. Cuando pones esta expresión en (2), obtienes (4).