Derivación de Lagrangian en coordenadas generalizadas

Estoy leyendo Statistical Mechanics de Mark Tuckerman y estoy revisando su derivación del Lagrangiano en coordenadas generalizadas, usando el tensor métrico de masas.$G$. Él define la energía cinética como

$$\begin{align} K(q,\dot{q}) &= \frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^{3N}\sum_{\beta =1}^{3N}\left[\sum_{i=1}^N m_i \frac{\partial r_i}{\partial q_{\alpha}} \frac{\partial r_i}{\partial q_{\alpha}} \right]\dot{q_{\alpha}}\dot{q_{\beta}} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^{3N}\sum_{\beta =1}^{3N} G_{\alpha \beta}(q_1,q_2,...)\dot{q_{\alpha}}\dot{q_{\beta}} \end{align}$$ Y la energía potencial es simplemente $$U\equiv U(q_1, q_2, ...)$$

Entonces el lagrangiano es

$$\begin{align} L = K-U \end{align}$$ Ahora, al conectar las definiciones anteriores en la ecuación de Euler-Lagrange, se obtiene: $$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{\gamma}}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_{\gamma}} = 0 \end{align}$$ La parte de la energía potencial es trivial,$\frac{\partial U}{\partial q_{\gamma}}$. Desempaquetando, la parte KE de la ecuación anterior, obtengo, $$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{q_{\gamma}}}\right)&= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial }{\partial \dot{q_{\gamma}}} \frac{1}{2} G_{\alpha \beta}(q_1,q_2,...)\dot{q_{\alpha}}\dot{q_{\beta}}\right)\\ &=\frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}(G_{\alpha \beta} \delta_{\alpha \gamma}\dot{q}_{\beta} + G_{\alpha \beta} \dot{q}_{\alpha}\delta_{\gamma \beta}) \right) \\ &= \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left( G_{\gamma \beta} \dot{q}_{\beta} + G_{\alpha \gamma} \dot{q}_{\alpha}\right) \end{align}$$ Aquí es donde en realidad no sé cómo simplificar más para obtener,

$$\begin{align} \sum _{\beta=1}^{3N}G_{\gamma \beta}\ddot{q}_{\beta}+\sum_{\alpha=1}^{3N}\sum_{\beta=1}^{3N} \left[ \frac{\partial G_{\gamma \beta}}{\partial q_{\alpha}} - \frac{1}{2}\frac{\partial G_{\alpha \beta}}{\partial q_{\gamma} } \right]\dot{q}_{\alpha} \dot{q}_{\beta} \end{align}$$ que es lo que tiene Tuckermann en su libro. ¿Cómo llego a este resultado?