¿Cómo explicar las diferentes formas de la ecuación de Hamilton-Jacobi?

En Métodos matemáticos de mecánica clásica de Arnold , deriva la ecuación de Hamilton-Jacobi (HJE) usando una función generadora S 1 ( q , q ) Llegar

H ( ∂ S 1 ( q , q ) ∂ q , q , t )   =   k ( q , t ) .

Sin embargo, esto es diferente de lo que he visto en otros textos de física. Por ejemplo, Goldstein usa la función generadora S 2 ( q , PAG , t ) para obtener la ecuacion

H ( ∂ S 2 ( q , PAG , t ) ∂ q , q , t )   =   − ∂ S 2 ( q , PAG , t ) ∂ t .

¿Por qué existe esta diferencia? ¿Las dos ecuaciones dicen lo mismo?

Respuestas (1)

Los puntos principales son:

  1. Estamos estudiando una Transformación Canónica (CT)

    ( q , pag ) ⟶ ( q , PAG )
    de antiguas coordenadas canónicas ( q , pag ) y hamiltoniano H ( q , pag , t ) a nuevas coordenadas canónicas ( q , PAG ) y Kamiltoniano k ( q , PAG , t ) .

  2. S 1 ( q , q , t ) es una llamada función generadora de tipo 1 del TC.

  3. S 2 ( q , PAG , t ) es una llamada función generadora de tipo 2 del TC.

  4. Los dos tipos de función generadora están conectados a través de una transformación de Legendre.

    S 2 ( q , PAG , t ) − S 1 ( q , q , t )   =   q i PAG i .

  5. Para los cuatro tipos de funciones generadoras se mantiene que

    k − H   =   ∂ S i ∂ t , i   =   1 , 2 , 3 , 4.

  6. Goldstein, Mecánica Clásica, usos S 2 ( q , PAG , t ) en el tratamiento de la ecuación de Hamilton-Jacobi. Goldstein asume que el Kamiltoniano k = 0 se desvanece de manera idéntica.

  7. Arnold, Métodos matemáticos de la mecánica clásica, utiliza S 1 ( q , q , t ) en la Sección 47 y S 2 ( q , PAG , t ) en la Sección 48. Arnold asume (entre otras cosas) que S 1 ( q , q , t ) no depende explícitamente de t .

Para el registro: JV Jose & EJ Saletan, Dinámica clásica: un enfoque contemporáneo, también utiliza una función generadora de tipo 1.
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