Derivación del operador de posición en QM

${\hat X} = x$porque elegimos trabajar en una base de vectores propios de${\hat X}$, es decir, funciones de onda.

Tenemos un espacio Hilbert${\cal H}$que es un espacio vectorial en el que podemos elegir cualquier base que deseemos. La mayoría de las veces elegimos trabajar en una base que diagonaliza el operador de posición${\hat X}$. Los estados básicos satisfacen

$${\hat X} | x \rangle = x | x \rangle$$ Una vez que se elige tal base, cualquier estado $|\Psi\rangle$en ${\cal H}$se puede expandir en él, es decir, podemos escribir $$| \Psi \rangle = \int dx | x \rangle \Psi(x)$$ La función $\Psi(x)$se llama función de onda. Podemos invertir esto para encontrar $$\Psi(x) = \langle x | \Psi \rangle$$

Ahora, ¿cuál es el significado de$\big({\hat X} \Psi \big)(x)$? Por definición es la función de onda del estado${\hat X} | \Psi \rangle$, es decir, es$\langle x | {\hat X} | \Psi \rangle$. Entonces es inmediatamente obvio que

$$\langle x | {\hat X} | \Psi \rangle = x \langle x | \Psi \rangle = x \Psi(x)$$ Así, encontramos que $\big({\hat X} \Psi \big)(x) = x \Psi(x)$. Por esta razón, escribimos por conveniencia ${\hat X} = x$, pero hay que recordar que esto solo es cierto en la base de coordenadas.

Operador de cantidad de movimiento en base coordinada: entonces podría preguntar cómo se puede derivar la expresión para el operador de cantidad de movimiento${\hat P}$en la base de coordenadas. Esto se hace de la siguiente manera.

Por definición$\big( {\hat P} \Psi \big)(x) = \langle x | {\hat P} | \Psi \rangle$. Entonces,

$$\big( {\hat P} \Psi \big)(x) = \int \frac{dp}{2\pi \hbar} \langle x | p \rangle \langle p | {\hat P} | \Psi \rangle = \int \frac{dp}{2\pi \hbar} \langle x | p \rangle \langle p | \Psi \rangle p = \int dx' \frac{dp}{2\pi \hbar} \langle x | p \rangle \langle p | x' \rangle \langle x' |\Psi \rangle p$$ A continuación, usando $\langle x | p \rangle = e^{\frac{i}{\hbar} p x }$, tenemos $$\big( {\hat P} \Psi \big)(x) = \int dx' \frac{dp}{2\pi \hbar}e^{\frac{i}{\hbar} p (x-x') } p \Psi(x')$$ ahora escribimos $$e^{\frac{i}{\hbar} p (x-x') } p = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x}e^{\frac{i}{\hbar} p (x-x') }$$ Usando esto, podemos realizar explícitamente la integral sobre $p$y encontramos $$\big( {\hat P} \Psi \big)(x) = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \Psi(x)$$ Por lo tanto, en base a coordenadas, escribimos $${\hat P} = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

PD: por supuesto, somos libres de elegir cualquier base que queramos. Podríamos, por ejemplo, trabajar en base al impulso. En esta base, tendríamos

$${\hat P} = p~, \qquad {\hat X} = i \hbar \frac{\partial}{\partial p} ~.$$

Tenga en cuenta que$\hat{X} = x$no es estrictamente correcto. El lado izquierdo es el operador que actúa sobre los estados de Hilbert de los estados cuánticos. El lado derecho es un número real.

El RHS es la representación de posición del LHS. Como OP reconoció correctamente, esto es una tautología hasta cierto punto, ya que es la representación definitoria del operador a través de la ecuación de valor propio

$$\hat{X} |x\rangle = x |x\rangle.$$

Así que la definición a priori es esta con la noción de que el$|x\rangle$-los estados son funciones delta localizadas, es decir

$$\langle x'|x\rangle = \delta^{(3)}\left(x-x'\right).$$

Tenga en cuenta que la segunda ecuación anterior se deriva de la primera ecuación (hasta una constante) bajo el supuesto de que$\hat{X}$es hermítica y que su espectro es continuo.

Hasta ahora, esto fue solo algunas matemáticas, si desea leer sobre esto de una manera más precisa, le recomiendo Quantum Optics in Phase Space de W. Schleich .

Hasta ahora esto era sólo matemáticas. Lo importante que determina la física es la cuantización, que consiste en imponer la relación:

$$\left[\hat{X}, \hat{P} \right] = i\hbar$$

que es también cómo se obtiene la primera relación en la pregunta (es decir, el operador de cantidad de movimiento en la representación de posición).

En QM tiene un postulado general, que requiere observables físicos (momento, momento angular, coordenadas) para ser representados por operadores hermitianos. En realidad, en QM tienes bases diferentes, así como una noción diferente de la evolución del tiempo. Esas son las bases de posición y coordenadas y las representaciones de Schrödinger y Heisenberg. Donde la diferencia entre los dos últimos es que en la imagen de Heisenberg los operadores dependen del tiempo. Su pregunta es para la base de coordenadas de representación de Schrödinger, así que concentrémonos en ella.

En la representación de coordenadas, la base está formada por un conjunto infinito de vectores$| \bf{x} >$para lo cual se cumple lo siguiente

$$\hat{X}| \bf{x} > = \bf{x} | \bf{x} >$$
Cada vector de estado $| \psi >$puede expresarse en esta base como $$| \psi > = \int d\bf{x} |\bf{x}><\bf{x}|\psi>,$$ donde usamos la expresión usual $\int d\bf{x}|\bf{x}><\bf{x}|=\hat{I}$. Entonces, el operador de posición fue fácil, ¿qué pasa con el operador de momento? Aquí necesitas más cálculo. De manera similar, para la representación del momento tenemos $$\hat{P}| \bf{p} > = \bf{p} | \bf{p} >$$
y $$| \psi > = \int d\bf{p} |\bf{p}><\bf{p}|\psi>.$$ Para relacionar los dos anotamos: $$\psi(\bf{x})=<\bf{x}|\psi>=\int d\bf{p} <\bf{x}|\bf{p}><\bf{p}|\psi>=\int d\bf{p} <\bf{x}|\bf{p}>\phi(\bf{p}),$$ lo que significa que vas de una base a la otra a través de una transformación de Fourier. Donde la transformada de Fourier está dada por $$\psi(\bf{x})=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{2}{3}}}\int d\bf{p}e^{\frac{i\bf{x}\cdot\bf{p}}{\hbar}}\phi(\bf{p})$$ En esta base, para el operador de cantidad de movimiento $\hat{P}$tenemos $$<\bf{x}|\hat{P}|\psi>=<\bf{x}|\hat{P}\int d\bf{p}|\bf{p}><\bf{p}|\psi>= \frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{2}{3}}}\int d\bf{p}\bf{p}e^{\frac{i\bf{x}\cdot\bf{p}}{\hbar}}\phi(\bf{p})$$ Desde $$\bf{p}e^{\frac{i\bf{x}\cdot\bf{p}}{\hbar}}=-i\hbar \nabla e^{\frac{i\bf{x}\cdot\bf{p}}{\hbar}},$$ tenemos $$<\bf{x}|\hat{P}|\psi>=-i\hbar \nabla<\bf{x}|\psi>.$$ O simplemente $\hat{P}=-i\hbar \nabla$y para el otro operador $\hat{X}| \bf{x} > = \bf{x} | \bf{x} >$por definición, porque estamos trabajando en la base de coordenadas.

Puedes comprobar fácilmente que ambos$\hat{P}$y$\hat{X}$son hermíticos y satisfacen la relación de Heisenberg.

PD También puede tener la imagen de Dirac (interacción) donde tanto los estados como los operadores dependen del tiempo.