Derivación de la métrica newtoniana de campo débil alrededor de la Tierra

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Derivación de la métrica newtoniana de campo débil alrededor de la Tierra

iron2man

No he visto ninguna derivación completa para la métrica en un caso newtoniano limitado:

$\begin{aligned} d s^{2} = - (1 + 2 Φ) d t^{2} + (1 - 2 Φ) (d r^{2} + r^{2} (d θ^{2} + {pecado}^{2} θ d ϕ^{2})) . \end{aligned}$ $\begin{align} ds^{2} = -(1+2\Phi)dt^{2} +(1-2\Phi)\left(dr^{2} + r^{2}(d\theta^{2} + \sin^{2} \theta\ d\phi^{2})\right). \end{align}$

Creo que deberíamos comenzar con la forma cartesiana de la métrica y luego aplicar la transformación para coordenadas esféricas:

\begin{aligned} d s^{2} = - (1 + 2 Φ) d t^{2} + (1 - 2 Φ) d_{i j} d X^{i} d X^{j} \end{aligned}

$\begin{align} ds^{2} = -(1+2\Phi)dt^{2} +(1-2\Phi)\delta_{ij}dx^{i}dx^{j} \end{align}$

En el límite newtoniano:

Las partículas se mueven lentamente.
El campo de gravedad es débil.
El campo es estático.

Con estas condiciones, podemos perturbar la métrica linealmente:

\begin{aligned} {gramo}_{m v} & = η_{m v} + h_{m v} \\ {gramo}^{m v} & = η^{m v} - h^{m v} \end{aligned}

$\begin{align} g_{\mu \nu} &= \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu} \\ g^{\mu \nu} &= \eta^{\mu \nu} - h^{\mu \nu} \end{align}$ dónde

η_{ν μ}

$\eta_{\nu \mu}$ es alguna métrica canónica (Minkowski entonces en este caso) y

| h_{μ ν} | ≪ 1

$|h_{\mu \nu}| \ll 1$ es una pequeña perturbación.

Si luego seguimos el componente de tiempo nuestra ecuación geodésica:

\begin{aligned} \frac{d^{2} X^{tu}}{d τ^{2}} + Γ_{v λ}^{m} \frac{d X^{v}}{d τ} \frac{d X^{λ}}{d τ} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d^{2}x^{u}}{d\tau^{2}} + \Gamma^{\mu}_{\nu \lambda}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}\frac{dx^{\lambda}}{d\tau} = 0 \end{align}$

y luego resuelva los componentes temporales y espaciales (mientras toma la derivada temporal de un campo estático):

\begin{aligned} \frac{d^{2} X^{m}}{d τ^{2}} + Γ_{00}^{m} {(\frac{d t}{d τ})}^{2} & = 0 \\ \frac{d^{2} X^{m}}{d τ^{2}} & = - \frac{1}{2} η^{m λ} \partial_{λ} h_{00} {(\frac{d t}{d τ})}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d^{2}x^{\mu}}{d\tau^{2}} + \Gamma^{\mu}_{00} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^{2} &= 0 \\ \frac{d^{2}x^{\mu}}{d\tau^{2}} &= - \frac{1}{2} \eta^{\mu \lambda}\partial_{\lambda}h_{00} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^{2} \end{align}$

vemos que cuando $\mu=0$ :

\begin{aligned} \frac{d t}{d τ} = C o norte s t a norte t \end{aligned}

$\begin{align} \frac{dt}{d\tau} = constant \end{align}$

y cuando vemos que cuando $\mu=i$ :

\begin{aligned} \frac{d^{2} X^{i}}{d t^{2}} & = - \frac{1}{2} \partial_{i} h_{00} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}} &= - \frac{1}{2} \partial_{i} h_{00} \end{align}$

en el que tenemos $h_{00} = -2 \Phi$ , que recuerda al de la aceleración $\vec{a} = -\nabla \Phi$ dónde $\Phi$ es el potencial newtoniano.

De este modo

\begin{aligned} {gramo}_{00} & = - (1 + 2 Φ) . \end{aligned}

$\begin{align} g_{00} &= - (1+2\Phi). \end{align}$

Ahora mi problema está tratando de resolver los componentes espaciales. $g_{ij}$ de una forma similar.

Cuando trato de resolverlo, mi trabajo comienza a verse intrincado y desordenado y simplemente me pierdo en la traducción:

\begin{aligned} Γ_{i j}^{m} & = \frac{1}{2} {gramo}^{m v} (\partial_{i} {gramo}_{v j} + \partial_{j} {gramo}_{i v} - \partial_{v} {gramo}_{i j}) . \end{aligned}

$\begin{align} \Gamma^{\mu}_{ij}&= \frac{1}{2} g^{\mu \nu} ( \partial_{i}g_{\nu j} + \partial_{j}g_{i \nu} - \partial_{\nu}g_{i j} ). \\ \end{align}$

Tomando $\mu=0$ , toda la conexión va a cero. Pero para componentes espaciales al implementar la métrica perturbada, me quedo atascado.

Respuestas (1)

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iron2man · Answer 1

Podría haber encontrado la solución.

En la configuración espacial:

\begin{aligned} \frac{d^{2} X^{m}}{d τ^{2}} + Γ_{i j}^{m} \frac{d X^{i}}{d τ} \frac{d X^{j}}{d τ} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d^{2}x^{\mu}}{d \tau^{2}} + \Gamma^{\mu}_{ij}\frac{dx^{i}}{d\tau}\frac{dx^{j}}{d\tau} = 0 \end{align}$ La conexión afín expandida es de la forma:

\begin{aligned} Γ_{i j}^{m} = \frac{1}{2} {gramo}^{m v} (\partial_{i} {gramo}_{v j} + \partial_{j} {gramo}_{i v} - \partial_{v} {gramo}_{i j}) \end{aligned}

$\begin{align} \Gamma^{\mu}_{ij} = \frac{1}{2}g^{\mu \nu}( \partial_{i}g_{\nu j} + \partial_{j}g_{i \nu} - \partial_{\nu}g_{i j} ) \end{align}$

Si $\mu=0$ entonces las derivadas temporales del campo estático se desvanecerán y los puntos no diagonales de la métrica serán cero.

Tomando la componente espacial de las conexiones:

\begin{aligned} Γ_{i j}^{k} = \frac{1}{2} {gramo}^{k yo} (\partial_{i} {gramo}_{yo j} + \partial_{j} {gramo}_{i yo} - \partial_{yo} {gramo}_{i j}) \end{aligned}

$\begin{align} \Gamma^{k}_{ij} = \frac{1}{2}g^{k l}( \partial_{i}g_{l j} + \partial_{j}g_{i l} - \partial_{l}g_{i j} ) \end{align}$ Igualando los índices inferiores y tomando el límite newtoniano se obtiene:

\begin{aligned} Γ_{i i}^{k} & = \frac{1}{2} η^{k yo} (\partial_{i} h_{yo i} + \partial_{i} h_{i yo} - \partial_{yo} h_{i i}) \\ = - \frac{1}{2} η^{k yo} \partial_{yo} h_{i i} \end{aligned}

$\begin{align} \Gamma^{k}_{ii} &= \frac{1}{2}\eta^{k l}( \partial_{i}h_{l i} + \partial_{i}h_{i l} - \partial_{l}h_{i i} ) \\ &= - \frac{1}{2}\eta^{k l} \partial_{l}h_{i i} \end{align}$ por la simetría de la métrica.

Con nuestra geodésica de esta forma, y tomando el límite newtoniano:

\begin{aligned} \frac{d^{2} X^{k}}{d τ^{2}} + Γ_{i j}^{k} \frac{d X^{i}}{d τ} \frac{d X^{j}}{d τ} & = 0 \\ \frac{d^{2} X^{k}}{d t^{2}} & = - Γ_{i i}^{k} {(\frac{d X^{i}}{d t})}^{2} \\ \frac{d^{2} X^{k}}{d t^{2}} & = \frac{1}{2} η^{k yo} \partial_{yo} h_{i i} {(\frac{d X^{i}}{d t})}^{2} \\ \frac{d^{2} X^{k}}{d t^{2}} & = \frac{1}{2} \partial_{k} h_{i i} {(\frac{d X^{i}}{d t})}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d^{2}x^{k}}{d \tau^{2}} + \Gamma^{k}_{ij}\frac{dx^{i}}{d\tau}\frac{dx^{j}}{d\tau} &= 0 \\ \frac{d^{2}x^{k}}{d t^{2}} &= - \Gamma^{k}_{ii}\left( \frac{dx^{i}}{dt}\right)^{2} \\ \frac{d^{2}x^{k}}{d t^{2}} &= \frac{1}{2}\eta^{k l} \partial_{l}h_{i i} \left( \frac{dx^{i}}{dt}\right)^{2} \\ \frac{d^{2}x^{k}}{d t^{2}} &= \frac{1}{2} \partial_{k}h_{i i} \left( \frac{dx^{i}}{dt}\right)^{2} \end{align}$

Comparando con la ecuación para un potencial gravitatorio $\vec{a} = - \nabla \Phi$ , solo deduzco que $h_{ii} = -2 \Phi$ , al igual que para el componente de tiempo iff $i=j$ .

De este modo,

\begin{aligned} {gramo}_{i j} & = (1 - 2 Φ) d_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} g_{ij} &= (1 -2 \Phi ) \delta_{ij} \end{align}$

Completando la métrica y, con suerte, aplicando la transformación de coordenadas esféricas, se produce la métrica de aproximación para la Tierra.

Editar:

No hay necesidad de una transformación de coordenadas. Puede ver que expandiendo el elemento de línea podemos aplicar la métrica para dos esferas y argumentar que la desviación del radio es solo $dr^{2} = dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}$

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