Movimiento descrito por a=kx2a=kx2a=\frac{k}{x^2}

Digamos que una partícula en una dimensión experimenta una aceleración inversamente proporcional al cuadrado del desplazamiento. ¿Cuál es su desplazamiento en función del tiempo?

a = d 2 X d t 2 = k X 2 una ecuación diferencial no lineal de segundo orden, aparentemente

Por contexto, la partícula podría ser atraída gravitacionalmente a una masa fija metro , en el cual k sería GRAMO metro , dónde GRAMO es la constante gravitacional.

Parece que no puedo encontrar una solución a este problema aparentemente simple. Es X ( t ) ¿muy complejo? Qué pasa v ( t ) , o a ( t ) ? ¿Cuál de estos se puede expresar simplemente en términos de t ?

PS Parece que la aceleración de la partícula sería infinita cuando X = 0 , pero solo por un instante infinitesimal. ¿Eso significa que la velocidad se dispara hasta el infinito o alcanza un máximo?

Tenga cuidado con sus señales. En el problema físico, cuando x es positivo, la aceleración será negativa y viceversa. Tu ecuación no tiene esa característica.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/19388/2451 y enlaces allí.

Respuestas (1)

Primero deja a = d v d t , así tenemos,

a = d v d t = k X 2

Ahora usando la regla de la cadena, d v d t = d v d X d X d t = v d v d X

Por lo tanto,

v d v d X = k X 2

Reorganizar e integrar da,

∫ v   d v = ∫ k X 2 d X

y por lo tanto,

v 2 2 = − k X + C

O,

v 2 = − 2 k X + C

por alguna constante C dependiente de las condiciones iniciales.

Lo dejaré como un simple ejercicio para que el lector establezca ahora v = d X d t y resolver para X ( t )

No podrán resolver por X ( t ) ; lo mejor que podemos obtener es una aproximación o una relación algebraica no lineal que involucre X ( t ) y t .
@JamalS Bueno, tengo una solución pero no hay márgenes para contenerla.
@Mew ¿Puedes compartir tu progreso? Considérame incapaz…
@Mew Eso es incorrecto. Hay una solución analítica aquí, disponible si no eres demasiado perezoso para buscarla.
@EmilioPisanty, oh ok, entonces mi respuesta queda donde dejo esto como ejercicio para el lector :)
Movimiento descrito por a=kx2a=kx2a=\frac{k}{x^2}
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