¿Se cumple la ley de Coulomb mientras ρ˙=0ρ˙=0\dot{\rho} = 0?

Question

¿Se cumple la ley de Coulomb mientras ρ˙=0ρ˙=0\dot{\rho} = 0?

Física
ley de Coulomb
electrostática
campos eléctricos
electromagnetismo
electrodinámica-clásica

usuario113773

¿La ley de Coulomb,

mi (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int ρ (r^{'}) \frac{r - r^{'}}{{| r - r^{'} |}^{3}} d V^{'},

$\textbf{E}\left(\textbf{r}\right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \rho\left(\textbf{r}'\right)\frac{\textbf{r} - \textbf{r}'}{\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|^3}dV',$

mantener siempre cuando $\dot{\rho} = 0$ ? Incluso si $\dot{\textbf{J}} \neq \boldsymbol{0}$ , como en, por ejemplo, un escenario con un anillo giratorio de carga que sigue acelerando? Me parece que la ley de Gauss implica que la ley de Coulomb siempre se cumple cuando $\dot{\rho} = 0$ , pero $\dot{\textbf{J}} \neq \boldsymbol{0}$ implica un campo magnético que varía con el tiempo, lo que significa alarmantemente que $\textbf{E}$ tiene un rotacional distinto de cero.

FGSUZ

Hasta donde yo sé, la ley de Coulomb da el campo electrostático . Si desea el campo eléctrico completo, debe sumar la parte no conservativa.

biofísico

Tiene razón, habrá más en el campo que solo el campo eléctrico estático. (@FGSUZ se me adelantó mientras estaba escribiendo esto!)

Respuestas (4)

¿Se cumple la ley de Coulomb mientras ρ˙=0ρ˙=0\dot{\rho} = 0?

Hasta donde yo sé, la ley de Coulomb da el campo electrostático . Si desea el campo eléctrico completo, debe sumar la parte no conservativa.
Tiene razón, habrá más en el campo que solo el campo eléctrico estático. (@FGSUZ se me adelantó mientras estaba escribiendo esto!)

anomalía quiral · Answer 1

La ley de Gauss no implica la ley de Coulomb, ni siquiera cuando $\dot\rho=0$ .

Dos de las ecuaciones de Maxwell son

\begin{matrix} (1) & \nabla \cdot mi (X) \propto ρ (X) \end{matrix}

$\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{x})\propto\rho(\mathbf{x}) \tag{1}$ y

\begin{matrix} (2) & \nabla \times mi (X) \propto \dot{B} (X) . \end{matrix}

$\nabla\times\mathbf{E}(\mathbf{x})\propto\mathbf{\dot B}(\mathbf{x}). \tag{2}$ La ecuación (1) solo puede determinar una componente del vector

E

$\mathbf{E}$ por punto en el espacio, porque es una ecuación escalar. Los otros dos componentes de

E

$\mathbf{E}$ se rigen por la ecuación (2).

Esto es más fácil de ver después de tomar una transformada de Fourier con respecto a las coordenadas espaciales, de modo que las ecuaciones (1)-(2) se convierten en

\begin{matrix} (3) & pag \cdot mi (pag) \propto ρ (pag) \end{matrix}

$\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{p})\propto\rho(\mathbf{p}) \tag{3}$ y

\begin{matrix} (4) & pag \times mi (pag) \propto \dot{B} (pag) . \end{matrix}

$\mathbf{p}\times\mathbf{E}(\mathbf{p})\propto\mathbf{\dot B}(\mathbf{p}). \tag{4}$ La ecuación (3) solo determina el componente de

E

$\mathbf{E}$ que es paralelo a

p

$\mathbf{p}$ . La ecuación (4) gobierna las componentes que son ortogonales a

p

$\mathbf{p}$ .

Por ejemplo, una onda EM que se propaga tiene un valor distinto de cero. $\mathbf{E}$ incluso cuando las densidades de carga y corriente son ambas cero. La ecuación (3) solo dice que la componente longitudinal del campo eléctrico debe ser cero en este caso.

"La ley de Gauss no implica la ley de Coulomb" Esto no es cierto en electrostática, ¿verdad? Si aplicas la ley de Gauss a una carga puntual, obtienes la ley de Coulomb.
@AaronStevens Sí, creo que estamos de acuerdo. En el contexto de la electrostática, lo que significa que nada cambia con el tiempo, entonces la combinación de las ecuaciones (1) y (2) implica la ley de Coulomb, además de un posible campo eléctrico de fondo con magnitud y dirección uniformes. Dado que la pregunta mencionaba una corriente dependiente del tiempo y un campo magnético dependiente del tiempo, inferí que el contexto no estaba destinado a limitarse a la electrostática, pero tal vez mi inferencia fue incorrecta. (No sería la primera vez que hago una inferencia incorrecta).
Aprecié la sugerencia de la transformación de Fourier de las ecuaciones de Maxwell, y para una comprensión física ofrezco esto: equivale a decir 'probemos soluciones de ondas planas' seguido de 'y cualquier solución se puede escribir en términos de esas'.

giorgiop · Answer 2

Un teorema debido a Helmholtz ( https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition ) establece que existe un único campo vectorial uniforme si conocemos su divergencia y rotacional, siempre que desaparezca en el infinito.

Entonces, tenemos que saber ambos. $\nabla {\bf E}$ y $\nabla \times{\bf E}$ para caracterizar unívocamente un campo vectorial. En el caso del campo eléctrico su divergencia siempre viene dada por la densidad de carga $\rho$ (independientemente de su dependencia del tiempo). El punto clave para responder a la pregunta es si $\dot \rho = 0$ implica la desaparición de la parte rotacional del campo eléctrico. No es así porque la condición de una densidad de carga estacionaria implica una condición únicamente sobre la divergencia del vector densidad de corriente (vía ecuación de continuidad), dejando total libertad en el rotacional de $\bf j$ y luego todavía permite la presencia de un campo magnético cuya variación con el tiempo controla $\nabla \times{\bf E}$ .

Resumiendo, su pregunta tiene una respuesta negativa para cualquier campo, si solo se conoce su divergencia.

ZeroTheHero · Answer 3

Estrictamente hablando, la ley de Coulomb se cumple para la electrostática (no hay movimiento de cargas), pero en la práctica también se cumple muy bien para situaciones cuasiestáticas, donde las cargas se mueven con velocidades. $v$ mucho menor que la velocidad de la luz, es decir $v/c\ll 1$ . Cuando esto ya no se sostiene, se necesita toda la maquinaria de la electrodinámica.

Vicente Fraticelli · Answer 4

Como contraejemplo, puede considerar el calentamiento por inducción: idealmente, un cilindro metálico infinito en un solenoide infinito (los dos con el mismo eje para ser simples y simétricos). La densidad de carga volumétrica en el conductor es $0$ y el campo eléctrico no es cero: un campo eléctrico ortorradial que gira alrededor de las líneas del campo magnético.

¿Se cumple la ley de Coulomb mientras ρ˙=0ρ˙=0\dot{\rho} = 0?

usuario113773

FGSUZ

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