¿Por qué está bien mantener el término cuadrático en la pequeña aproximación ℏℏ\hbar?

Tiene razón en preocuparse por este procedimiento, ya que una expansión de Taylor en los poderes de$\hbar$en sí mismo carece de un significado físico claro. Esto es porque$\hbar$es una constante dimensional: su valor depende del sistema de unidades. Por ejemplo, en unidades SI$\hbar$es un número muy pequeño, mientras que en muchos sistemas de unidades "naturales" utilizados en la física cuántica$\hbar=1$. Claramente, si$\hbar=1$una expansión de Taylor de bajo orden debería ser una aproximación muy pobre.

De hecho, lo que está sucediendo aquí no es una expansión de Taylor en términos de$\hbar$. Eres Taylor expandiendo el funcional adimensional$S[x(t)]/\hbar$sobre el "punto"$x(t) = x_0(t)$(realmente una función, no un punto) hasta el orden cuadrático. Se puede esperar que esto converja rápidamente si los términos sucesivos de la expansión son pequeños. Lo que esto significa físicamente es que la acción asociada con las fluctuaciones cuánticas$y(t) = x(t)-x_0(t)$se supone que es mucho menor que$\hbar$.

En la literatura de física, a menudo es conveniente realizar dichas expansiones en términos de un parámetro dimensional. Sin embargo, dicho procedimiento solo tiene sentido si se puede identificar un parámetro de expansión adimensional apropiado y asumir razonablemente que es pequeño.

1. En primer lugar, recordar que en general es un problema abierto en matemáticas definir rigurosamente una integral de trayectoria . Una motivación heurística viene dada por una generalización integral de trayectoria del método de descenso más pronunciado alrededor de un punto estacionario no degenerado, es decir, el hessiano . $H_{jk}$debe ser no degenerado.

2. La acción es la suma de una parte libre/cuadrática y una parte de interacción.

   $$S[x] ~=~S_2[y] +S_{\rm int}[y],\qquad x~=~x_{\rm cl}+y,\tag{1}$$ dónde$^1$ $$S_2[y]~=~S[x_{\rm cl}]+ \frac{1}{2}y^j H_{jk} y^k, \qquad S_{\rm int}[y]~=~{\cal O}(y^3).\tag{2}$$ Supongamos por simplicidad que el camino clásico$x_{\rm cl}$es único, es decir, no hay instantes.

3. La integral de camino libre$Z_2$lee

   $$\begin{align} Z_2 &~~:=~\int \!{\cal D}y~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} S_2[y] \right\}\cr &~~\stackrel{(2)}{=}~ \exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[x_{\rm cl}]\right\} \int \!{\cal D}y~\exp\left\{\frac{i}{2\hbar} y^j H_{jk} y^k \right\}\cr &\stackrel{y=\sqrt{h}\tilde{y}}{=}~ {\cal N} I_2 \exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[x_{\rm cl}]\right\},\end{align} \tag{3}$$ dónde $${\cal N}~=~\prod_x \sqrt{\hbar}~=~ {\sqrt{\hbar}^{\infty}}\tag{4}$$ es una constante de normalización formal del factor jacobiano, y donde $$I_2~:=~ \int \!{\cal D}\tilde{y}~\exp\left\{ \frac{i}{2}\tilde{y}^j H_{jk} \tilde{y}^k\right\} ,\tag{5}$$ es una integral de trayectoria gaussiana , que es independiente de$\hbar$, y que se hace convergente mediante la rotación de Wick /$i\epsilon$-prescripción.

4. La integral de trayectoria completa$Z$a menudo se define perturbativamente en relación con la integral de ruta libre

   $$\begin{align}\frac{Z}{Z_2}&\quad:=\quad\frac{1}{Z_2}\int \!{\cal D}x~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} S[x] \right\}\cr &\stackrel{(1)+(2)+(3)}{=}~\frac{1}{{\cal N} I_2} \int\! {\cal D}y~\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\left( \frac{1}{2}y^j H_{jk} y^k +{\cal O}(y^3)\right)\right\}\cr &~~\stackrel{y=\sqrt{h}\tilde{y}}{=}~ \frac{1}{ I_2}\int\! {\cal D}\tilde{y}~\exp\left\{ \frac{i}{2}\tilde{y}^j H_{jk} \tilde{y}^k +{\cal O}(\sqrt{\hbar})\right\} \cr &\quad\sim\quad 1+{\cal O}(\sqrt{\hbar})\quad\text{for}\quad \hbar~\to ~0.\end{align}\tag{6}$$

5. Tenga en cuenta en particular que es crucial utilizar la sustitución$y^j=\sqrt{h}\tilde{y}^j$para hacer la parte cuadrática del factor de Boltzmann en las ecs. (5) y (6) independientemente de$\hbar$. Esta elección pone de manifiesto el papel dominante de la parte cuadrática del factor de Boltzmann en la$\hbar$-expansión en comparación con la parte de interacción subliminal, cf. el método de descenso más empinado.

6. El$\sim$símbolo en la ec. (6) representa una serie asintótica en$\sqrt{h}$. A menudo no es convergente .

7. Finalmente mencionemos que en la práctica para no tener que tratar explícitamente con el factor de normalización${\cal N}$, las definiciones de integrales de trayectoria$Z_2$y$Z$se modifican con un factor$1/\sqrt{h}$dentro de la medida integral de trayectoria, cf. por ejemplo , esta publicación Phys.SE relacionada.

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$^1$Usamos la notación condensada de DeWitt para no saturar la notación.