Derivación de la expansión de Sommerfeld por integración de contorno (Le Bellac p. 277)

Question

Derivación de la expansión de Sommerfeld por integración de contorno (Le Bellac p. 277)

Física
fermiones
analiticidad
temperatura
mecánica estadística
distribuciones-dirac-delta

k-selectride

En el libro de física estadística de Le Bellac, deriva la expansión de Sommerfeld mediante una integral de contorno.

La idea es desarrollar integrales del tipo $I(\beta)\equiv \int_{0}^{\infty}d\epsilon\, \frac{\varphi'(\epsilon)}{e^{\beta(\epsilon-\mu)}+1}$ . Integrar por partes y expandir $\varphi(\epsilon)$

φ (ϵ) = \sum_{metro = 0}^{\infty} \frac{(ϵ - m)^{metro}}{metro!} (\frac{d^{metro} φ}{d ϵ} |_{ϵ = m})

$\varphi(\epsilon)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\epsilon-\mu)^{m}}{m!}\left(\frac{d ^{m}\varphi}{d \epsilon}\Bigg |_{\epsilon=\mu}\right)$

Hacer un cambio de variables para escribir $I(\beta)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\beta^{-m}\varphi^{(m)(\mu)}}{m!}I_{m}$ dónde $I_{m}=\int_{-\infty}^{\infty}dx\, \frac{x^{m}e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}$ .

La idea entonces de evaluar la $I_m$ es considerar la siguiente integral

j (pag) = \int_{- \infty}^{\infty} d X \frac{{mi}^{i pag X}}{({mi}^{X} + 1) ({mi}^{- X} + 1)} = \sum_{metro = 0}^{\infty} \frac{(i pag)^{metro}}{metro!} \int_{- \infty}^{\infty} d X \frac{X^{metro}}{({mi}^{X} + 1) ({mi}^{- X} + 1)} = \sum_{metro = 0}^{\infty} \frac{(i pag)^{metro}}{metro!} I_{metro}

$J(p)=\int_{-\infty}^{\infty}dx\, \frac{e^{ipx}}{(e^{x}+1)(e^{-x}+1)}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(ip)^{m}}{m!}\int_{-\infty}^{\infty}\, dx \frac{x^{m}}{(e^{x}+1)(e^{-x}+1)}= \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(ip)^{m}}{m!}I_{m}$

integrando $J(p)$ da $J(p)=\frac{2\pi pe^{-\pi p}}{1-e^{-2\pi p}}=1-\frac{1}{6}(\pi p)^2+\ldots$ por eso,

I (β) = φ (m) + \frac{π^{2}}{6} (k_{B} T)^{2} φ^{(2)} (m) + O (k_{B} T^{4})

$I(\beta)= \varphi(\mu) + \frac{\pi^{2}}{6}(k_{B}T)^{2}\varphi^{(2)}(\mu)+O(k_{B}T^{4})$

Hasta aquí todo bien, mi problema surge cuando escribe la expansión de la distribución de Fermi-Dirac en sí misma como

\frac{1}{{mi}^{β (ϵ - m)} + 1} ≃ Θ_{H} (m - ϵ) - \frac{π^{2}}{6} (k_{B} T)^{2} d^{'} (ϵ - m) + O (k_{B} T^{4})

$\frac{1}{e^{\beta(\epsilon-\mu)}+1}\simeq \Theta_{H}(\mu-\epsilon)-\frac{\pi^{2}}{6}(k_{B}T)^{2}\delta'(\epsilon-\mu)+O(k_{B}T^{4})$

que se supone que es válido bajo una integral. Parece imitar la expansión de la función generadora, al menos en lo que respecta a los signos. Si consideramos la definición de la expansión de Sommerfeld de Wikipedia, tenemos una fórmula en la forma

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{H (ε)}{{mi}^{β (ε - m)} + 1} d ε = \int_{- \infty}^{m} H (ε) d ε + \frac{π^{2}}{6} {(\frac{1}{β})}^{2} H^{'} (m) + O {(\frac{1}{β m})}^{4}

$\int_{-\infty}^\infty \frac{H(\varepsilon)}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}\,\mathrm{d}\varepsilon = \int_{-\infty}^\mu H(\varepsilon)\,\mathrm{d}\varepsilon + \frac{\pi^2}{6}\left(\frac{1}{\beta}\right)^2H^\prime(\mu) + \mathrm{O} \left(\frac{1}{\beta\mu}\right)^4$

Si probamos la forma de Le Bellac,

I (β) ≃ \int_{0}^{\infty} d ϵ φ^{'} (ϵ) [Θ_{H} (m - ϵ) - \frac{π^{2}}{6} (k_{B} T)^{2} d^{'} (ϵ - m) + O (k_{B} T^{4})] = φ (m) - \frac{π^{2}}{6} (k_{B} T)^{2} \underset{k}{\underset{⏟}{\int_{0}^{\infty} d ϵ φ^{'} (ϵ) d^{'} (ϵ - m)}}

$I(\beta)\simeq\int_{0}^{\infty}d\epsilon\, \varphi'(\epsilon)\left[\Theta_{H}(\mu-\epsilon)-\frac{\pi^{2}}{6}(k_{B}T)^{2}\delta'(\epsilon-\mu)+O(k_{B}T^{4}) \right] \\ =\varphi(\mu)-\frac{\pi^{2}}{6}(k_{B}T)^{2}\underbrace{\int_{0}^{\infty}d\epsilon\, \varphi'(\epsilon)\delta'(\epsilon-\mu)}_{K}$

pero integrando $K$ por partes da

k = {[d (ϵ - m) φ^{'} (ϵ)]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} d ϵ φ^{″} (ϵ) d (ϵ - m) = - φ^{″} (m)

$K=\left[\delta(\epsilon-\mu)\varphi'(\epsilon) \right]_{0}^{\infty}- \int_{0}^{\infty}d\epsilon\, \varphi''(\epsilon)\delta(\epsilon-\mu)=-\varphi''(\mu)$

Entonces los signos funcionan, y el signo negativo probablemente no sea un error tipográfico. Por otro lado, el próximo término en la expansión sería $+\frac{7\pi^4}{360}(k_{B}T)^{4}\delta^{(3)}(\epsilon-\mu)$ que tomaría un signo negativo al integrarse.

El comportamiento alterno de los signos, hasta donde yo sé, se debe a la unidad imaginaria que se incluyó en la exponencial para la integral de contorno. Un enfoque muy similar se realiza en la p. 255 de las siguientes notas excepto que no hay una unidad imaginaria en el exponencial. Además, la expansión está destinada a operar solo en $\varphi$ en lugar de corregir la distribución de Fermi-Dirac para pequeños $T$ .

Mis preguntas son las siguientes:

¿Las correcciones a la distribución de Fermi-Dirac proporcionadas por Le Bellac son correctas para todos los pedidos? Parecen funcionar para los términos de orden 0 y 1.
Suponiendo que (1) es correcto, ¿cómo "sabemos", o cuál es el razonamiento, que la expansión en serie de la función generadora daría las correcciones a la distribución de Fermi-Dirac? Porque me parecía que la función generadora era solo para determinar el $I_m$ coeficientes

Respuestas (1)

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qmecanico · Answer 1

I) Preliminares. Primero, establezcamos explícitamente la expansión de Sommerfeld a todos los órdenes. Con este fin, deja

\begin{matrix} (1) & B (X) := \frac{X}{{mi}^{X} - 1} = \sum_{metro = 0}^{\infty} \frac{B_{metro}}{metro!} X^{metro} = 1 - \frac{X}{2} + \frac{X^{2}}{12} - \frac{X^{4}}{720} + \frac{X^{6}}{30240} + O (X^{8}) \end{matrix}

$\tag{1} B(x)~:=~\frac{x}{e^x-1}~=~\sum_{m=0}^{\infty}\frac{B_m}{m!}x^m~=~1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+\frac{x^6}{30240}+{\cal O}(x^8)\qquad$

sea la función generadora de los números de Bernoulli $^1$ . Dejar

\hat{A} (X) := \frac{X / 2}{pecado \frac{X}{2}} = 2 B (\frac{X}{2}) - B (X) = \sum_{metro = 0}^{\infty} \frac{{\hat{A}}_{metro}}{metro!} X^{metro} = \hat{A} (- X)

$\widehat{A}(x)~:=~\frac{x/2}{\sinh\frac{x}{2}}~=~2B(\frac{x}{2})-B(x)~=~\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\widehat{A}_m}{m!}x^m = \widehat{A}(-x)$

\begin{matrix} (2) & = 1 - \frac{X^{2}}{24} + \frac{7 X^{4}}{5760} - \frac{31 X^{6}}{967680} + O (X^{8}) \end{matrix}

$\tag{2} ~=~1-\frac{x^2}{24}+\frac{7x^4}{5760}-\frac{31x^6}{967680}+{\cal O}(x^8)$

ser el llamado $A$ -función techo con los coeficientes

\begin{matrix} (3) & {\hat{A}}_{metro} := (2^{1 - metro} - 1) B_{metro}, metro \in {norte}_{0}, \end{matrix}

$\tag{3} \widehat{A}_m~:=~(2^{1-m}-1)B_m, \qquad m~\in~\mathbb{N}_0,$

dado en términos de los números de Bernoulli. Dejar

\begin{matrix} (4) & F (ε) := \frac{1}{{mi}^{β ε} + 1} \end{matrix}

$\tag{4} f(\varepsilon)~:=~\frac{1}{e^{\beta\varepsilon}+1}$

ser la distribución desnuda de Fermi-Dirac sin el potencial químico $\mu$ . En esta respuesta, por razones técnicas trabajaremos en términos de (menos) la derivada

\begin{matrix} (5) & - F^{'} (ε) = \frac{β}{4 {aporrear}^{2} \frac{β ε}{2}} > 0, \end{matrix}

$\tag{5} -f^{\prime}(\varepsilon) ~=~\frac{\beta}{4\cosh^2 \frac{\beta\varepsilon}{2}}~>~0,$

porque contrariamente a la distribución de Fermi-Dirac $f(\varepsilon)$ en sí, la derivada $f^{\prime}(\varepsilon)$ se suprime exponencialmente para $\varepsilon \to -\infty$ . (Como bono adicional, la derivada $f^{\prime}(\varepsilon)=f^{\prime}(-\varepsilon)$ pasa a ser una función par.)

II) El funcional de Sommerfeld. Defina el funcional de Sommerfeld como

\begin{matrix} (6) & I [Φ] := - \int_{R} d ε F^{'} (ε - m) Φ (ε) . \end{matrix}

$\tag{6} I[\Phi] ~:=~-\int_{\mathbb{R}} \! d\varepsilon~f^{\prime}(\varepsilon-\mu) \Phi(\varepsilon).$

Energías $\varepsilon$ con $|\varepsilon-\mu|\gg 1/\beta$ efectivamente no contribuyen a la integral (6). Aquí $\Phi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ es una función de prueba analítica real

\begin{matrix} (7) & Φ (ε) = \sum_{metro = 0}^{\infty} \frac{Φ^{(metro)} (m)}{metro!} (ε - m)^{metro} . \end{matrix}

$\tag{7} \Phi(\varepsilon)~=~\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Phi^{(m)}(\mu)}{m!}(\varepsilon-\mu)^m.$

Tenga en cuenta que la analiticidad (7) es una abstracción matemática que casi nunca es justificable en las aplicaciones físicas reales. Supongamos además que el integrando (6) tiene la función

\begin{matrix} (8) & ε \mapsto - F^{'} (ε) \sum_{metro = 0}^{\infty} \frac{| Φ^{(metro)} (m) |}{metro!} | ε - m |^{metro} \geq 0 \end{matrix}

$\tag{8}\varepsilon~\mapsto~ -f^{\prime}(\varepsilon) \sum_{m=0}^{\infty}\frac{|\Phi^{(m)}(\mu)|}{m!}|\varepsilon-\mu|^m~\geq~0$

como una mayorante integrable de Lebesgue, tal que (según el teorema de convergencia dominada de Lebesgue ) el orden de integración y suma en la ec. (6) se puede intercambiar

\begin{matrix} (9) & I [Φ] = - \sum_{metro = 0}^{\infty} \frac{Φ^{(metro)} (m)}{metro!} \int_{R} d ε (ε - m)^{metro} F^{'} (ε - m) . \end{matrix}

$\tag{9} I[\Phi]~=~-\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Phi^{(m)}(\mu)}{m!}\int_{\mathbb{R}} \! d\varepsilon~ (\varepsilon-\mu)^m f^{\prime}(\varepsilon-\mu) .$

La existencia de una mayorante integrable de Lebesgue (8) es una suposición técnica relativamente leve que casi siempre se cumple en las aplicaciones físicas reales.

III) La expansión de Sommerfeld. Las integrales en la ec. (9) están bien definidos y pueden calcularse mediante métodos reales o complejos, cf. referencias 1, 2 y 3. La expansión de Sommerfeld a todos los órdenes se convierte en

\begin{matrix} (10) & I [Φ] = \sum_{metro = 0}^{\infty} {(\frac{2 π i}{β})}^{metro} \frac{{\hat{A}}_{metro}}{metro!} Φ^{(metro)} (m), \end{matrix}

$\tag{10} I[\Phi]~=~\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{2\pi i}{\beta}\right)^{m} \frac{\widehat{A}_m}{m!}\Phi^{(m)}(\mu),$

Veremos la ec. (10) como resultado principal.

IV) Es tentador reescribir formalmente la ec. (10) como

\begin{matrix} (11) & I [Φ] = \hat{A} (\frac{2 π i}{β} \frac{d}{d m}) Φ (m), \end{matrix}

$\tag{11}I[\Phi] ~=~ \widehat{A}\left(\frac{2\pi i}{\beta} \frac{d}{d\mu}\right) \Phi(\mu),$

o como

\begin{matrix} (12) & - F^{'} (ε - m) = \sum_{metro = 0}^{\infty} {(\frac{2 π}{i β})}^{metro} \frac{{\hat{A}}_{metro}}{metro!} d^{(metro)} (ε - m) . \end{matrix}

$\tag{12} -f^{\prime}(\varepsilon-\mu) ~=~ \sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{2\pi }{i\beta}\right)^{m} \frac{\widehat{A}_m}{m!}\delta^{(m)}(\varepsilon-\mu).$

Una integración formal de la ec. (12) wrt. $\varepsilon$ rendimientos

\begin{matrix} (13) & F (ε - m) = θ (m - ε) - \sum_{metro = 1}^{\infty} {(\frac{2 π}{i β})}^{metro} \frac{{\hat{A}}_{metro}}{metro!} d^{(metro - 1)} (ε - m) . \end{matrix}

$\tag{13} f(\varepsilon-\mu) ~=~\theta(\mu-\varepsilon)- \sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{2\pi}{i\beta}\right)^{m} \frac{\widehat{A}_m}{m!}\delta^{(m-1)}(\varepsilon-\mu).$

ecuaciones (12) y (13) son, estrictamente hablando, tonterías matemáticas. Solo deben considerarse como un mnemotécnico para recordar la ec. (10).

V) Finalmente, abordemos las preguntas de OP. Aunque, por un lado, la expansión de Sommerfeld (10) es matemáticamente precisa en todos los órdenes (cuando se aplica a la función de prueba analítica real anterior $\Phi$ ), por otro lado en aplicaciones físicas, la función de prueba $\Phi$ muchas veces deja de ser analítico real.

Ejemplo: $I[\phi]$ podría ser el número de partículas (por volumen) de un sistema, y la derivada $\Phi^{\prime}(\varepsilon)$ puede ser la densidad $g(\varepsilon)$ de niveles de energía (por volumen). No hay razones físicas para esperar $\Phi$ ser realmente analítico.

Por lo tanto, en aplicaciones físicas, solo confiamos en los primeros términos de la expansión de Taylor (7) con $|\varepsilon-\mu|\ll \mu$ . Por lo tanto, el apoyo efectivo de $f^{\prime}(\varepsilon-\mu)$ en la integral (6) debe restringirse a este intervalo. Esto está garantizado en el régimen de baja temperatura. $1/\beta\ll\mu$ . En este límite de baja temperatura $1/\beta\ll\mu$ , los primeros términos de la expansión de Taylor (7) conducen efectivamente a los primeros términos de la expansión de Sommerfeld (10).

Referencias:

NW Ashcroft y ND Mermin, Solid State Physics, 1976, Apéndice C, p.760-761.
M. Le Bellac, F. Mortessagne y GG Batrouni, Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Thermodynamics, 2004, Sección 5.2.2, pág. 276-279.
Daniel Arovas, Apuntes sobre Termodinámica y Mecánica Estadística, 2012, Apartado 5.8.5, p. 255-257. El archivo pdf está disponible aquí .

--

$^1$ Tenga cuidado con las definiciones ligeramente diferentes de los números de Bernoulli en la literatura.

Gracias por la respuesta. Solo tenía una pregunta antes de marcar la tuya como respuesta. ¿Cómo obtuviste la ecuación 12? Probablemente podría haber deducido la forma adivinando y comprobando, pero me preguntaba si había algo más.
ecuación (12) se sigue formalmente al reescribir la ec. (10) con funciones delta, integrar por partes y finalmente eliminar la función de prueba $\Phi$ a ambos lados. ¿Estás realmente preguntando acerca de eq. (10)?
No, mi dificultad es con el paso que acabas de describir, la reescritura con funciones delta. ¿Está haciendo una sustitución del tipo $\phi^{(m)}(\mu) \to \int \phi^{(m)}(\epsilon) \delta(\epsilon- \mu$ ?
Sí. Específicamente, debemos suponer que la función de prueba $\Phi\in{\cal S}(\mathbb{R})$ pertenece al espacio de Schwartz ${\cal S}(\mathbb{R})$ .
Última pregunta, en la integración del 12 al 13, son los límites $\epsilon \to \infty$ ? Por mi parte tengo $f(\epsilon-\mu)=-\int_{\epsilon}^{\infty}d\epsilon \delta(\epsilon-\mu)-\sum...=-\theta(\mu-\epsilon)-\sum...$ . No estoy seguro de dónde está mi error para conciliar con los signos en 13.
$f(\varepsilon-\mu)-f(-\infty)=-\int_{-\infty}^{\varepsilon}\! d\varepsilon^{\prime} ~ \delta(\varepsilon^{\prime}-\mu)+\ldots$ , o equivalente, $f(\varepsilon-\mu)-f(\infty)=+\int_{\varepsilon}^{\infty}\!d\varepsilon^{\prime} ~\delta(\varepsilon^{\prime}-\mu)+\ldots$
Teniendo en cuenta lo que publiqué en el OP. yo tengo eso $I(\beta)=-\int_0^\infty d\varepsilon\, \phi(\varepsilon)f'(\varepsilon-\mu)$ , y de manera similar $I(\beta)=\sum_{m=0}\frac{\beta^{-m}}{m!}\phi^{(m)}(\mu)I_m=\sum_{m=0}(-k_BT)^{m}\frac{I_m}{m!}\int_0^\infty d\varepsilon \phi(\varepsilon)\delta^{(m)}(\varepsilon-\mu)$ Sugiriendo que $-f'(\varepsilon-\mu)=\sum_{m=0}(-\frac{1}{\beta})^m\frac{I_m}{m!}\delta^{(m)}( \varepsilon -\mu)$ , pero el $I_m$ son estrictamente positivos, por lo que incluso después de la integración no tengo el signo correcto, a menos que me haya perdido algo al integrar derivadas de funciones delta
Es decir, mi expansión sería $f(\varepsilon-\mu) = \theta(\mu -\varepsilon) + \sum_{m=1}(\frac{-1}{\beta})^{m} \frac{I_m}{m!}\delta^{(m-1)}(\varepsilon-\mu)=\theta(\mu -\varepsilon)+ \frac{\pi^2}{6}(k_BT)^2\delta'(\varepsilon-\mu)+\ldots$

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