Número g(T)g(T)g(T) de grados de libertad relativistas en función de la temperatura TTT

Primero, tenga en cuenta que la ecuación que usa solo es válida cuando todas las partículas relativistas están en equilibrio térmico. La ecuación más general, que permite partículas con diferentes temperaturas, es

$$g(T) = \sum_B g_B\left(\frac{T_B}{T}\right)^4 + \frac{7}{8}\sum_F g_F\left(\frac{T_F}{T}\right)^4$$ dónde $T$es la temperatura del fotón y $T_B$, $T_F$son las temperaturas de cada bosón y fermión.

Los grados de libertad para todas las partículas del modelo estándar se enumeran en la siguiente tabla (fuente: http://www.helsinki.fi/~hkurkisu/cosmology/Cosmo6.pdf ):

A temperaturas$T\sim 200\;\text{GeV}$, todas las partículas están presentes, relativistas y en equilibrio térmico, por lo que encontramos

$$g(T) = 28 + \frac{7}{8}\cdot 90 = 106.75$$ Cuando $T\sim 1\;\text{GeV}$, la temperatura ha descendido por debajo de la energía en reposo del $t$, $b$, $c$, $\tau$, $W^+$, $W^-$, $Z^0$, y $H^0$partículas, por lo tanto estas ya no son relativistas (y se habrán aniquilado) y tenemos que sacarlas de la ecuación. nos quedamos con $$g(T) = 18 + \frac{7}{8}\cdot 50 = 61.75$$ Cuando $T$Cae por debajo $100\;\text{MeV}$, los quarks y gluones restantes están encerrados en hadrones no relativistas, y los muones se han aniquilado. Todo lo que queda son fotones, electrones, positrones, neutrinos y antineutrinos, de modo que $$g(T) = 2 + \frac{7}{8}\cdot 10 = 10.75$$ Hasta ahora, todas las partículas relativistas estaban en equilibrio térmico. Sin embargo, a medida que la temperatura desciende a $1\;\text{MeV}$, los neutrinos se desacoplan y se mueven libremente, lo que significa que su temperatura comenzará a divergir de la temperatura del fotón. En $T < 500\;\text{keV}$, los electrones y positrones ya no son relativistas, por lo que solo quedan los fotones y neutrinos, y $$g(T) = 2 + \frac{7}{8}\cdot 6\left(\frac{T_\nu}{T}\right)^4,$$ dónde $T_\nu$es la temperatura del neutrino. Calcular esto requiere un poco de trabajo.

La Segunda Ley de la Termodinámica implica que la densidad de entropía$s(T)$es dado por

$$s(T) = \frac{\rho(T) + P(T)}{T},$$ dónde $\rho$es la densidad de energía y $P$la presión. Usando las distribuciones de Fermi-Dirac y Bose-Einstein, se encuentra que para partículas relativistas $$\rho(T) = \begin{cases} \dfrac{g_B}{2}a_B\, T^4&\text{bosons}\\ \dfrac{7g_F}{16}a_B\, T^4&\text{fermions} \end{cases}$$ y $P = \rho/3$, de modo que $s(T) = 4\rho(T)/3T$. Consideremos ahora la densidad de entropía de los fotones y los electrones y positrones a altas temperaturas, cuando todavía son relativistas: $$s(T_\text{high}) = \frac{2}{3}a_B\,T_\text{high}^3\left(2 + \frac{7}{8}\cdot 4\right) = \frac{4}{3}a_B\,T_\text{high}^3\left(\frac{11}{4}\right).$$ A bajas temperaturas, los electrones y positrones se vuelven no relativistas, la mayoría se aniquila y las partículas restantes tienen una contribución insignificante a la entropía, por lo tanto $$s(T_\text{low}) = \frac{4}{3}a_B\,T_\text{low}^3\,.$$ Sin embargo, el equilibrio térmico implica que la entropía en un volumen comomóvil permanece constante: $$s(T)a^3 = \text{constant}.$$ Además, la temperatura de los neutrinos cae como $T_\nu \sim 1/a$después de que se desacoplan. Combinando estos resultados, encontramos $$\left(\frac{T_\text{low}}{T_{\nu,\text{low}}}\right)^3 = \frac{11}{4} \left(\frac{T_\text{high}}{T_{\nu,\text{high}}}\right)^3.$$ A altas temperaturas, los neutrinos todavía están en equilibrio térmico con los fotones, es decir $T_{\nu,\text{high}}=T_\text{high}\,$, por lo que finalmente obtenemos $$T_\nu = \left(\frac{4}{11}\right)^{1/3}T$$ a bajas temperaturas. Por lo tanto, $$g(T) = 2 + \frac{7}{8}\cdot 6\left(\frac{4}{11}\right)^{4/3} = 3.36.$$ Un tratamiento más detallado se da en el mismo enlace de donde saqué la tabla.