Derivación de la energía de interacción del dipolo - Interacción dipolo inducida

Question

Derivación de la energía de interacción del dipolo - Interacción dipolo inducida

Clasificación de gnomos

Veo que la fórmula que da la energía potencial (de interacción) de un dipolo y un dipolo inducido es

V = - \frac{C}{r^{6}}

$V=-\frac{C}{r^6}$ dónde

C = \frac{m_{1}^{2} α_{2}^{'}}{4 π ϵ_{0}}

$C=\frac{\mu_1^2 \alpha'_2}{4 \pi \epsilon_0}$ y que la fórmula que da la energía potencial (de interacción) de un dipolo inducido y otro dipolo inducido es

V = - \frac{C}{r^{6}}

$V=-\frac{C}{r^6}$ dónde

C = \frac{3}{2} α_{1}^{'} α_{2}^{'} \frac{I_{1} I_{2}}{I_{1} + I_{2}}

$C=\frac{3}{2}\alpha'_1\alpha'_2\frac{I_1I_2}{I_1+I_2}$ . Los subíndices 1 y 2 representan el dipolo o dipolo inducido,

μ

$\mu$ representa el momento dipolar de un dipolo permanente, y

α

$\alpha$ representa la polarizabilidad de un dipolo inducido. También,

r

$r$ representa la separación entre los dos en cada caso, y

I

$I$ representa la energía de ionización de 1 o 2. No he podido averiguar cómo las personas han obtenido la energía de interacción en casos que involucran un dipolo inducido (y no pude encontrarlo en Atkins o en Google), y me preguntaba si alguien podría ser capaz de mostrarme cómo se hace. Gracias.

Xiaolei Zhu

La ecuación de interacción dipolo inducido-diple no parece correcta. La permitividad debe tener un cuadrado ya que lo tenemos dos veces: una vez induciendo el dipolo, una vez calculando las interacciones dipolo-dipolo. Y la polarizabilidad no debería tener un cuadrado. ¿Puedes comprobarlo dos veces?

Respuestas (1)

Derivación de la energía de interacción del dipolo - Interacción dipolo inducida

La ecuación de interacción dipolo inducido-diple no parece correcta. La permitividad debe tener un cuadrado ya que lo tenemos dos veces: una vez induciendo el dipolo, una vez calculando las interacciones dipolo-dipolo. Y la polarizabilidad no debería tener un cuadrado. ¿Puedes comprobarlo dos veces?

gatsu · Answer 1

No creo que necesites la mecánica cuántica para comprender lo que sucede en la interacción dipolo inducida por dipolo. El mecanismo básico es bastante simple y solo cambian los detalles de los cálculos al cambiar a una descripción cuántica.

Molécula polarizable en un campo externo.

Así que lo primero es lo primero. Consideremos un modelo simple de molécula polarizable como una carga con valencia $z$ unido a un resorte de fuerza $k$ y longitud cero en reposo (este es un modelo válido en la aproximación armónica de un dipolo).

Al colocar tal molécula en un campo eléctrico $\vec{E}$ , la carga siente una fuerza $ze \vec{E}$ . Esta fuerza tira en una dirección mientras que el resorte tira en la dirección opuesta y eventualmente el sistema alcanza un nuevo equilibrio mecánico donde

- k \vec{d} + z mi \vec{mi} = \vec{0}

$\begin{equation} -k \vec{d} + ze \vec{E} = \vec{0} \end{equation}$

Entonces podemos encontrar que la constante de resorte puede estar relacionada con el tamaño del dipolo inducido $d = || \vec{d}||$ , la cantidad de carga desplazada $ze$ y la magnitud del campo eléctrico $E = ||\vec{E}||$ a través de:

k = \frac{z mi mi}{d}

$\begin{equation} k = \frac{ze E}{d} \end{equation}$

Ahora, para inducir este dipolo, por supuesto, el campo eléctrico tenía que funcionar. La cantidad de trabajo que proporcionó es igual a la energía potencial ganada por la molécula similar a un resorte, es decir

W_{i norte d tu C mi d} = \frac{1}{2} k d^{2} = \frac{1}{2} z mi mi d

$\begin{equation} W_{induced} = \frac{1}{2}k d^2 = \frac{1}{2} ze E d \end{equation}$

Ahora, podemos definir el dipolo inducido $\vec{p}_i$ como siendo $ze \vec{d}$ , entonces viene que:

W_{i norte d tu C mi d} = \frac{1}{2} {\vec{pag}}_{i} \cdot \vec{mi}

$\begin{equation} W_{induced} = \frac{1}{2} \vec{p}_i\cdot \vec{E} \end{equation}$

Ahora, la energía del dipolo en un campo eléctrico está dada por $U_d = -\vec{p}\cdot \vec{E}$ . Entonces resulta que la energía total del dipolo inducido por un campo externo es entonces:

{tu}_{i norte d tu C mi d} = {tu}_{d} + W_{i norte d tu C mi d} = - \frac{1}{2} {\vec{pag}}_{i} \cdot \vec{mi}

$\begin{equation} U_{induced} = U_d + W_{induced} = -\frac{1}{2}\vec{p}_i \cdot \vec{E} \end{equation}$

Energía potencial del sistema de dipolo inducido por dipolo

Consideremos ahora que el campo externo es generado por un dipolo permanente $\vec{p}_p$ tal que la energía de interacción es ahora:

{tu}_{i norte t} = - \frac{1}{2} {\vec{pag}}_{i} \cdot {\vec{mi}}_{pag} \equiv \frac{1}{2} α_{i} | | {mi}_{pag} | |^{2}

$\begin{equation} U_{int} = -\frac{1}{2}\vec{p}_i \cdot \vec{E}_p \equiv \frac{1}{2}\alpha_i ||E_p||^2 \end{equation}$

donde he introducido la polarizabilidad $\alpha_i$ del dipolo inducido tal que $\vec{p}_i = \alpha_i \vec{E}$ en el caso general.

Ahora, el campo eléctrico generado por un dipolo permanente $\vec{p}_p$ en un punto $M$ es

{\vec{mi}}_{pag} (METRO) = \frac{1}{4 π ε_{0} r^{3}} (3 ({\vec{pag}}_{pag} \cdot \vec{tu}) \vec{tu} - {\vec{pag}}_{pag})

$\begin{equation} \vec{E}_p(M) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}\left(3(\vec{p}_p \cdot \vec{u}) \: \vec{u}-\vec{p}_p \right) \end{equation}$

al tomar el cuadrado de la misma, obtenemos:

| | {\vec{mi}}_{pag} (METRO) | | = \frac{1}{(4 π ε_{0} r^{3})^{2}} (3 ({\vec{pag}}_{pag} \cdot \vec{tu}) \vec{tu} - {\vec{pag}}_{pag}) \cdot (3 ({\vec{pag}}_{pag} \cdot \vec{tu}) \vec{tu} - {\vec{pag}}_{pag}) = \frac{{pag}_{pag}^{2}}{(4 π ε_{0} r^{3})^{2}} (3 {porque}^{2} θ + 1)

$\begin{equation} ||\vec{E}_p(M)|| = \frac{1}{(4 \pi \varepsilon_0 r^3)^2}\left(3(\vec{p}_p \cdot \vec{u}) \: \vec{u}-\vec{p}_p \right) \cdot \left(3(\vec{p}_p \cdot \vec{u}) \: \vec{u}-\vec{p}_p \right) = \frac{p_p^2}{(4 \pi \varepsilon_0 r^3)^2}(3 \cos^2 \theta +1) \end{equation}$

donde el ángulo $\theta$ se define tal que $\vec{p}_p \cdot \vec{u} = p_p \cos \theta$ .

Finalmente, la energía de interacción total dice:

{tu}_{i norte t} ({pag}_{pag}, θ, r) = \frac{α_{i} {pag}_{pag}^{2} (3 {porque}^{2} θ + 1)}{2 (4 π ε_{0} r^{3})^{2}}

$\begin{equation} U_{int}(p_p, \theta, r) = \frac{\alpha_i p_p^2 (3 \cos^2 \theta +1)}{2(4 \pi \varepsilon_0 r^3)^2} \end{equation}$

Energía libre aproximada del sistema

La energía libre del sistema, cuando está en contacto con el baño a temperatura inversa $\beta$ se define de la siguiente manera:

{mi}^{- β F ({pag}_{pag}, r)} \equiv \int d Ω_{pag} {mi}^{- β {tu}_{i norte t} ({pag}_{pag}, θ, r)}

$\begin{equation} e^{-\beta \mathcal{F}(p_p,r)} \equiv \int d\Omega_p \: e^{-\beta U_{int}(p_p,\theta,r)} \end{equation}$

dónde $d\Omega_p \equiv \sin \theta d\theta d\phi$ es el elemento integral del ángulo sólido sobre la posible orientación del dipolo permanente $\vec{p}_p$ .

A temperaturas suficientemente altas, podemos expandir la exponencial dentro de la integral y esto da:

{mi}^{- β F ({pag}_{pag}, r)} = \int d Ω_{pag} [1 - β {tu}_{i norte t} ({pag}_{pag}, θ, r) + O (β^{2} {tu}_{i norte t} ({pag}_{pag}, θ, r)^{2})]

$\begin{equation} e^{-\beta \mathcal{F}(p_p,r)} = \int d\Omega_p \: [1-\beta U_{int}(p_p,\theta,r) + \mathcal{O}(\beta^2 U_{int}(p_p,\theta,r)^2) ] \end{equation}$

esta integral da entonces:

{mi}^{- β F ({pag}_{pag}, r)} \approx 4 π + \frac{4 π β {pag}_{pag}^{2} α}{(4 π ε_{0}) r^{3})^{2}}

$\begin{equation} e^{-\beta \mathcal{F}(p_p,r)} \approx 4\pi + \frac{4\pi \beta p_p^2 \alpha}{(4\pi \varepsilon_0) r^3)^2} \end{equation}$

finalmente

F ({pag}_{pag}, r, α) = - β^{- 1} en [4 π + \frac{4 π β {pag}_{pag}^{2} α}{(4 π ε_{0}) r^{3})^{2}} + O (β^{2} {tu}_{i norte t}^{2})] \approx - \frac{{pag}_{pag}^{2} α}{(4 π ε_{0})^{2}) r^{6}}

$\begin{equation} \mathcal{F}(p_p,r,\alpha) = -\beta^{-1} \ln \left[ 4\pi + \frac{4\pi \beta p_p^2 \alpha}{(4\pi \varepsilon_0) r^3)^2} + \mathcal{O}(\beta^2U_{int}^2) \right] \approx - \frac{ p_p^2 \: \alpha}{(4\pi \varepsilon_0)^2) r^6} \end{equation}$

Esta interacción se llama interacción de Debye van der Waals. Así que también puedes buscarlo en otros libros de texto para obtener más detalles, especialmente sobre el tratamiento cuántico de lo que he hecho aquí.

Entonces, el corazón de esto realmente era que el propio dipolo inducido depende del campo eléctrico aplicado del dipolo permanente. Junto con el hecho de que el potencial eléctrico de un dipolo cae como 1/r^2 y, por lo tanto, el campo eléctrico de un dipolo cae como 1/r^3, el 1/r^6 se sigue de forma bastante natural. Gracias. Estuve buscando explicaciones y, aunque no puedo decir que seguí todo lo que hiciste, especialmente en el punto en el que hablaste sobre la energía libre aproximada, esta es la mejor y más clara explicación que pude encontrar en línea.
Si hay un punto que cree que requiere más explicación, dígame, intentaré editar mi respuesta en consecuencia cuando tenga tiempo.

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Xiaolei Zhu

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gatsu

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gatsu

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