Dirección de rotación del protón en el campo magnético: opuesta a un dipolo

La energía potencial en este caso debe ser$U=+\vec{m}.\vec{B}$, por lo tanto, la energía potencial se minimiza, como debería ser. Aquí está la explicación:

Veamos cuidadosamente la derivación de la energía de interacción entre el dipolo magnético y el campo magnético. La energía del dipolo$U=-\vec{m}.\vec{B}$se deriva utilizando el principio del trabajo virtual con la suposición de que el momento dipolar es constante y, por lo tanto, su propia energía es permanente. Sin embargo, si se permite que cambie el momento dipolar como en este caso, la energía propia del dipolo ya no es permanente. Podemos imaginarlo como el$\frac{1}{2}LI^2$energía para el caso de un bucle de corriente, si cambiamos su momento dipolar, su energía interna también cambiará. Entonces, para el caso como este, la energía propia se puede extraer en energía mecánica. Si tenemos en cuenta el trabajo adicional para cambiar la energía propia en el principio del trabajo virtual, terminaremos con$U=+\vec{m}.\vec{B}$. Siempre podemos calcular el trabajo.$\int \tau d\theta$para cambiar la orientación del dipolo. Sin embargo, en este caso el momento dipolar no es permanente, por lo que su magnitud será diferente para diferentes orientaciones. Por lo tanto, el cálculo del trabajo será complicado, pero hay una manera fácil de hacerlo. Podemos usar algún tipo de "batería" para mantener constante el momento dipolar y calcular el trabajo usando$−\vec{m}.\vec{B}$. Al final del proceso, volvemos a poner toda la energía dada/robada por la batería, lo que significa que volví a cambiar el momento dipolar al valor que debería haber tenido si la batería no estuviera allí. En otras palabras, ya me deshago de todas las influencias de la batería. El trabajo realizado por la batería resulta ser$(−2\vec{m}.\vec{B})$, entonces obtenemos

$U=-\vec{m}.\vec{B}-(-2\vec{m}.\vec{B})=+\vec{m}.\vec{B}$

También podemos obtener lo mismo.$U=+\vec{m}.\vec{B}$si calculamos la energía del campo electromagnético total, algunos detalles de la derivación están en mi blog:

http://emitabsorb.wordpress.com/2011/08/21/mb-or-mb/

El campo magnético no realiza trabajo sobre un protón, entonces, ¿cómo definimos la energía potencial?

Sí, la energía cinética total del sistema se conserva, pero podemos separarla en partes. Por ejemplo, podemos agrupar la energía cinética debida a$v_x$&$v_y$y dale un nombre di$U_1$. el cambio en$U_1$afectará el movimiento de la partícula en$z$dirección, por lo que podemos decir que$U_1$es la energía potencial para$z$dirección. En este caso, nos gustaría conocer la tendencia de la velocidad de revolución angular del protón a alinearse o contraalinearse con el campo magnético, por lo que agrupamos parte de la energía cinética y la energía del campo magnético. Como se deriva, esta energía se puede escribir como$\tau=-dU/d\theta$. Por lo tanto, si la energía concentrada no es mínima, habrá un par perpendicular a$\vec{B}$.

Entonces, ¿por qué no usamos también$U=+\vec{m}.\vec{B}$para el caso de dipolo permanente ya que es la energía total real con energía propia ya incluida en ella?

Sí, es cierto que la energía total correcta es$U=+\vec{m}.\vec{B}$. Pero en este caso la energía potencial, la que tiende a minimizarse es$U=-\vec{m}.\vec{B}$. La parte de la energía que puede minimizarse a sí misma es la que se puede escribir como$F=-\nabla U$, es decir la fuerza tenderá a cualquier partícula afectada por el potencial al lugar donde$U$es bajo. Por ejemplo, considere un sistema de una tierra y una luna que la orbitan. Entonces, de repente, la tierra se vuelve el doble de grande que antes con la misma masa. Sabemos que la energía potencial autogravitatoria de la tierra cambia, pero no deja ningún efecto en la luna. Entonces, en este caso, la energía potencial autogravitatoria de la tierra no es una energía potencial para la luna.

Ahora, el único problema que queda en el caso del dipolo permanente es que, además de la$–\vec{m}.\vec{B}$parte que puede cambiar de un lado a otro con energía mecánica, el resto$+2\vec{m}.\vec{B}$(parte de ella es de la energía propia del dipolo, y el resto es de la energía propia de la constante$\vec{B}$proveedor de campo) parte también cambia misteriosamente y lo que significa que la energía no se conserva. Para salvar el principio de conservación de la energía, siempre podemos inventar un nuevo tipo de energía para que la$+2\vec{m}.\vec{B}$no falta ni se crea libremente, sino que simplemente cambia su forma entre la energía electromagnética y esta nueva energía. Pero creo que no es necesario, porque lo que estaba haciendo no es para proteger el principio de conservación de la energía, sino para proteger la interpretación de la energía del campo. En realidad, la energía de campo también se obtiene utilizando el principio del trabajo virtual en primer lugar, pero en este caso el aumento de la energía de campo total no es igual a la disminución de la energía mecánica. Por lo tanto, para el caso del dipolo permanente, creo que la interpretación de la energía de campo ya no es válida. Si nos atenemos a la definición$F=-\nabla U$, estas dificultades nunca ocurrirían.

No soy un experto en electromagnetismo, pero si uno de mis alumnos (física general, nivel de licenciatura) me preguntara, diría lo siguiente: el protón giratorio genera un campo magnético y se comporta como un dipolo magnético para estos fines. (y a distancias lo suficientemente grandes). Sin embargo, eso solo se refiere al campo creado por este protón y su interacción de este protón con otras partículas a larga distancia. La energía de interacción entre el campo magnético y el protón no se puede describir como$-\vec M\cdot \vec B$, porque esa expresión es la energía de un dipolo puntual, que nuestro sistema no es. Es como si estuvieras calculando el torque de algo que no es un sólido rígido, simplemente no se aplica.

Aquí están mis resoluciones originales a la paradoja.

Mirando la otra respuesta, lo más probable es que sea incorrecta, pero la publicaré para completarla. Además, enfatizará lo que sospeché que sucedería: múltiples resoluciones para una paradoja.

• El campo magnético no realiza trabajo en un protón, por lo que no hay PE y toda la discusión es discutible. Tenga en cuenta que esto puede ser incorrecto ya que el propio protón influye en el campo magnético local.

• Un protón que hace UCM no puede llamarse bucle de corriente. En un bucle de corriente, en cualquier instante dado, tenemos cargas en movimiento por todos lados. Esto nos da un par. No hay tal pareja aquí.

El argumento de la energía potencial mínima no es aplicable aquí, ya que solo funciona para fuerzas conservativas. Considere lagrangiano$L=T(\dot q_i)-U(q_i)$con$q_i$siendo algunas coordenadas generalizadas. Normalmente se supone que cualquier movimiento hace que las fuerzas disipativas disminuyan.$\dot q_i$con el tiempo, y de ahí el término$T(\dot q_i)$. Luego se leen las ecuaciones de Lagrange$\dfrac{\partial U}{\partial q_i}=0$y la consideración de cómo el sistema se aproxima a ese punto mostrará que es un mínimo local. Por cierto, el principio es particularmente bueno por ser versátil con respecto a la elección de$q_i$.

Ahora considere el protón. Su función lagrangiana es$L=\dfrac{m v^2}{2}+\dfrac{e}{c}{\bf A}{\bf v}$. La energía potencial aquí puede ser:

1) Considerado cero. Entonces cualquier estado es el estado de mínima energía.

2) Tomado por ser$-\dfrac{e}{c}{\bf A}{\bf v}$. Entonces el sistema no es conservador y el argumento no se aplica.

Por lo tanto, el argumento de la energía$U\rightarrow U_\min$no dice nada sobre el estado en el que estará el sistema.

Si cambia a la formulación de momento magnético, usa lagrangiana$L=\dfrac{m v^2}{2}+{\bf m}{\bf H}$. Suposición implícita sobre${\bf m}$ser fijo hace que uno espere que después de suficiente disipación el sistema alcanzaría${\bf m}{\bf H}=-|{\bf m}{\bf H}|$. En cambio, como se ve desde el lagrangiano, el sistema simplemente alcanzaría trivialmente el estado${\bf v}=0$y por lo tanto${\bf m}=0$.

Para concluir, la paradoja surge de aplicar$U\rightarrow U_\min$y suponiendo${\bf m}$constante para la descripción del dipolo.

1) La respuesta de F'x es incorrecta, definitivamente hay un momento dipolar magnético (y aquí no hay energía propia de su momento con su propio campo magnético), y de hecho apunta hacia abajo. Sin embargo, el protón se acelera en su movimiento de ciclotrón, induciendo radiación y por lo tanto agotando la energía, conciliando esta paradoja.

2) La respuesta de Alexey es defectuosa porque su Lagrangiano no tiene en cuenta la dinámica completa. También argumenta que su sistema lagrangiano no se conserva (pero sí en su publicación).

3) Su respuesta clave a la respuesta de Emitabsorb:
$U=-m\cdot B$es el potencial de interacción de un momento en un campo; sólo incluye el trabajo realizado para establecer un momento magnético permanente a priori en el campo. Sin embargo, no incluye el trabajo realizado para crear el momento magnético y mantenerlo permanente. Si incluimos este trabajo extra, la energía total del sistema se convierte en$U=+\bar{m}\cdot \bar{B}$. Pero aún desea minimizar solo el potencial de interacción (esto se explica en el libro de texto EM clásico de Jackson, pg190 + pg214). SIN EMBARGO , asumimos aquí que primero tuvo un momento$m$independiente de cualquier campo magnético, y luego lo llevó a$B$. Esto simplemente no se aplica a nuestro escenario... si escribes el Lagrangiano para un protón en un campo magnético, no hay potencial de interacción.$\pm m\cdot B$que aparece (porque no hay un momento fijo a priori); Es sencillo$\mathcal{L}=\frac{1}{2}m_0v^2-\frac{e}{c}\bar{v}\cdot \bar{A}$. ¡Este párrafo, junto con mi comentario de aceleración, resuelve la paradoja!

Mi comentario de aceleración:
en efecto, está tratando de considerar una solución cuasiestática a este problema, sin tener en cuenta la dinámica completa. El protón da vueltas y produce radiación de ciclotrón, amortiguando su movimiento (es decir, amortiguando la radiación). Puede formar un Lagrangiano para manejar esto, y se logra la energía potencial mínima.