¿Cuál es la energía de interacción entre una carga puntual y un cilindro infinito?

Question

¿Cuál es la energía de interacción entre una carga puntual y un cilindro infinito?

Yotam

No recuerdo lo suficiente de mi curso de electromagnetismo y no puedo encontrar ningún ejemplo simple y completo sobre este tema.

Sé que puedo considerar el cilindro como un cable con la misma densidad de carga (cuando está fuera del cilindro), así que considero la caja del cable con la misma densidad de carga, $\lambda$ .

puse el $y$ dirección para pasar a través del alambre, y la $x$ dirección para pasar a través de la carga puntual y perpendicular al alambre. Todo está en el $z=0$ avión. Por lo tanto, la partícula está en $x=r$ posición.

De la ley de Gauss , aprendo que el campo en un punto a distancia $r$ del cable tengo un campo que escala como $\lambda/r$ . Para encontrar el potencial , necesito resolver la integral.

$V = -\int_b^r E dl = - k \int_b^r \lambda/x dx$

Dónde $k$ mantiene las constantes y $b$ siendo un punto donde el potencial es 0.

La solución de esta integral es

$V = - k \lambda \log (1/r) + C$

Cuando $b=1$ el potencial es 0 entonces el potencial es

$V = k \lambda \log (1/r)$

y la energía es

$U = k q \lambda \log (1/r)$

Aquí están mis preguntas:

Algo de esto es verdad?
Traté de derivar esto comenzando con la ley de Coulomb y calculando la energía para un segmento del cable, obtengo una respuesta que escala como $1/r$ , ¿puede derivar la respuesta para esto?

dave

Esto me parece más o menos correcto, y es el enfoque que tomaría.

Respuestas (1)

¿Cuál es la energía de interacción entre una carga puntual y un cilindro infinito?

Esto me parece más o menos correcto, y es el enfoque que tomaría.

marco aita · Answer 1

Creo que tienes un pequeño error tipográfico en tu fórmula para $V$ . debería leer $V=-k \lambda log(r)+C$ .

Aparte de esto si llamas $d=\sqrt{r^2+y^2}$ la distancia de la carga puntual en (r,0,0) desde un punto (0,y,0) en el alambre, la ley de Coulomb da el campo eléctrico en el punto (r,0,0) como un vector a lo largo de x ejes proporcionales a

mi = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{λ}{d^{2}} \frac{r}{d} d y = 2 \int_{0}^{\infty} λ \frac{r}{(r^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}}} d y

$E=2\int_0^{\infty} \frac{\lambda}{d^2} \frac{r}{d}dy=2\int_0^{\infty}\lambda \frac{r}{(r^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}dy$ (

r / d

$r/d$ es el coseno del ángulo

θ

$\theta$ entre el vector que apunta de (0,y,0) a (r,0,0) y (r,0,0), y por simetría solo necesita integrar en la parte superior del cable). Con la sustitución

y = r t a n (θ)

$y=r \ tan(\theta)$ , y

d y = r \frac{1}{c o s (θ)^{2}} d θ

$dy=r \frac{1}{cos(\theta)^2} d\theta$ esto se convierte

mi = 2 \int_{0}^{\infty} λ \frac{r}{(r^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}}} d y = 2 \frac{λ}{r} \int_{0}^{π / 2} C o s (θ) d θ = 2 \frac{λ}{r}

$E=2\int_0^{\infty}\lambda \frac{r}{(r^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}dy = 2\frac{\lambda}{r}\int_0^{\pi /2}cos(\theta)d \theta= 2\frac{\lambda}{r}$

entonces recuperas el mismo campo eléctrico que obtienes del teorema de Gauss. el resto es igual..

¿Cuál es la energía de interacción entre una carga puntual y un cilindro infinito?

Yotam

dave

Respuestas (1)

marco aita

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