Derivación de la ecuación de Dirac utilizando la densidad lagrangiana para el campo de Dirac

La densidad lagrangiana para un campo de Dirac es

$$\mathcal{L} = i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi -m \bar\psi\psi$$ La ecuación de Euler-Lagrange dice $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\psi} - \frac{\partial}{\partial x^\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\psi)}\right] = 0$$ tratamos $\psi$y $\bar\psi$como variables dinámicas independientes. De hecho, es más fácil considerar el Euler-Lagrange para $\bar\psi$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar\psi} - \frac{\partial}{\partial x^\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar\psi)}\right] = 0\\ \Rightarrow i\gamma^\mu\partial_\mu\psi -m\psi - \frac{\partial}{\partial x^\mu}[ 0] = 0\\ \Rightarrow i\gamma^\mu\partial_\mu\psi -m\psi=0$$ La diferenciación parcial es trivial - recuerda que $\bar\psi$y $\partial_\mu\bar\psi$son tratados como si fueran independientes. Recuperamos la ecuación de Dirac como se esperaba. Si en cambio hubiéramos elegido el Euler-Lagrange para $\psi$, habríamos encontrado la ecuación de Dirac conjugada.