Derivación de la ecuación. 7.12 en el artículo de revisión de Kraus

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Derivación de la ecuación. 7.12 en el artículo de revisión de Kraus

anuncios-cft
Física
renormalización
principio holográfico
teoría del campo conforme

satoshi nawata

Estoy leyendo "Conferencias sobre agujeros negros y el $AdS_3/CFT_2$ correspondencia" de Kraus.

No sé cómo se puede obtener la ecuación 7.12. Mi pregunta estúpida es cómo obtener esta ecuación. Después de esta ecuación, se establece que "uno debe tener cuidado de considerar solo variaciones consistentes con las ecuaciones de movimiento y las condiciones de contorno asumidas". ¿Cuáles son las variaciones consistentes con las ecuaciones de movimiento y las condiciones de contorno asumidas? Lo que Krasu dice es lo siguiente.

Para calcular la integral funcional a granel, necesitamos evaluar la acción a granel para las soluciones que contribuyen, incluidos los contratérminos de límite si es necesario. Para una solución en la carcasa alrededor del $AdS_{3}$ vacío, uno puede evaluar la acción en el $AdS_3$ vacío utilizando la variación de la acción con respecto a la frontera métrica $g^{(0)}$ y los campos de calibre $A^{(0)}, \tilde A^{(0)}$

d S = \int d^{2} X \sqrt{gramo} [\frac{1}{2} T^{i j} d {gramo}_{i j} + \frac{i}{2 π} j^{i} d A_{i} + \frac{i}{2 π} {\tilde{j}}^{i} d {\tilde{A}}_{i}] .

$\begin{equation} \delta S= \int d^2x \sqrt{g}\,\left[ \frac12 T^{ij} \delta g_{ij}+\frac{i}{2\pi} J^{i} \delta A_{i} +\frac{i}{2\pi}\tilde J^{i} \delta \tilde A_{i} \right]~. \end{equation}$ donde el superíndice

(0)

$(0)$ se omite por brevedad. Reexpresando esto en coordenadas complejas de la métrica de frontera, obtenemos:

d S = 4 π i (T_{w w} d τ + T_{\bar{w} \bar{w}} d \bar{τ} + \frac{τ_{2}}{π} j_{w} d A_{\bar{w}} + \frac{τ_{2}}{π} {\tilde{j}}_{\bar{w}} d {\tilde{A}}_{w}) .

$\begin{equation} \delta S=4\pi i \left(T_{ww}\delta \tau+T_{\bar w\bar w}\delta \bar\tau +\frac{\tau_2}{\pi} J_{w}\delta A_{\bar w}+\frac{\tau_2}{\pi} \tilde J_{\bar w}\delta \tilde A_{w}\right)~. \end{equation}$

Se puede integrar la ecuación anterior para obtener:

\begin{array}{rcl} S (τ) & = & - 2 π i τ (L_{0} - \frac{C}{24}) + 2 π i \bar{τ} ({\tilde{L}}_{0} - \frac{\tilde{C}}{24}) \\ - \frac{i π}{2} k (τ A_{w}^{2} + \bar{τ} A_{\bar{w}}^{2} + 2 \bar{τ} A_{w} A_{\bar{w}}) + \frac{i π}{2} \tilde{k} (τ {\tilde{A}}_{w}^{2} + \bar{τ} {\tilde{A}}_{\bar{w}}^{2} + 2 τ {\tilde{A}}_{w} {\tilde{A}}_{\bar{w}}) . \end{array}

$\begin{eqnarray} \mathcal{S}(\tau) & = & - 2 \pi i \tau \big(L_{0} - \frac{c}{24} \big) + 2 \pi i \bar\tau \big(\tilde L_{0} - \frac{\tilde c}{24} \big) \cr && \; - \frac{i\pi}{2} k \big( \tau A_{w}^{2} + \bar \tau A_{\bar w}^{2} + 2 \bar \tau A_{w} A_{\bar w} \big) + \frac{i\pi}{2} \tilde k \big( \tau \tilde A_{w}^{2} + \bar\tau \tilde A_{\bar w}^{2} + 2 \tau \tilde A_{w} \tilde A_{\bar w} \big) \, . \end{eqnarray}$

Me gustaría saber la derivación de la última ecuación.

qubyte

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Respuestas (1)

Derivación de la ecuación. 7.12 en el artículo de revisión de Kraus

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Jon · Answer 1

La respuesta es bastante simple. Debe usar las ecuaciones (6.8) en el documento. Los pones en el último término de la ecuación (7.11) entonces, una integración directa, me refiero a algo como $\delta\tau\rightarrow\tau$ , $\delta A_{\bar w}\rightarrow A_{\bar w}$ y así sucesivamente, debería hacer el trabajo.

Entonces, consideremos (tenga en cuenta que en su publicación hay un letrero incorrecto)

d S = (2 π)^{2} i {(- T_{w w} d τ + T_{\bar{w} \bar{w}} d \bar{τ} + \frac{τ_{2}}{π} j_{w}^{I} d A_{I \bar{w}} + \frac{τ_{2}}{π} {\tilde{j}}_{\bar{w}}^{I} d {\tilde{A}}_{I w})}_{C o norte s t a norte t} .

$\delta S=(2\pi)^2 i \left(-T_{ww}\delta \tau+T_{\bar w\bar w}\delta \bar\tau +\frac{\tau_2}{\pi} J_{w}^I\delta A_{I\bar w}+\frac{\tau_2}{\pi} \tilde J_{\bar w}^I\delta \tilde A_{Iw}\right)_{constant}~.$

(aquí "constante" significa que solo se conserva el modo cero) y las ecuaciones correspondientes (6.8) en la revisión de Kraus

\begin{aligned} T_{w w} & = - \frac{k}{8 π} + \frac{1}{8 π} A_{w}^{2} + \frac{1}{8 π} {\tilde{A}}_{w}^{2}, \\ T_{\bar{w} \bar{w}} & = - \frac{\tilde{k}}{8 π} + \frac{1}{8 π} A_{\bar{w}}^{2} + \frac{1}{8 π} {\tilde{A}}_{\bar{w}}^{2}, \\ j_{w}^{I} & = \frac{i}{2} k^{I j} A_{j w}, \\ {\tilde{j}}_{\bar{w}}^{I} & = \frac{i}{2} {\tilde{k}}^{I j} {\tilde{A}}_{j \bar{w}} . \end{aligned}

$\eqalign{ T_{ww}&=-{k \over 8\pi} +{1 \over 8\pi} A_w^2+{1 \over 8\pi} {\tilde A}_w^2~, \cr T_{{\bar w}{\bar w}}&= -{{\tilde k} \over 8\pi} +{1 \over 8\pi}A_{{\bar w}}^2+{1 \over 8\pi}{\tilde A}_{{\bar w}}^2~, \cr J^I_w &= {i\over 2} k^{IJ} A_{Jw}~, \cr {\tilde J}^I_{{\bar w}}& = {i\over 2} {\tilde k}^{IJ} {\tilde A}_{J{\bar w}}~.}$

Por sustitución se tiene

d S = (2 π)^{2} i [- (- \frac{k}{8 π} + \frac{1}{8 π} A_{w}^{2} + \frac{1}{8 π} {\tilde{A}}_{w}^{2}) d τ + (- \frac{\tilde{k}}{8 π} + \frac{1}{8 π} A_{\bar{w}}^{2} + \frac{1}{8 π} {\tilde{A}}_{\bar{w}}^{2}) d \bar{τ}

$\delta S = (2\pi)^2 i\left[-\left(-{k \over 8\pi} +{1 \over 8\pi} A_w^2+{1 \over 8\pi} {\tilde A}_w^2~\right)\delta\tau+\left(-{{\tilde k} \over 8\pi} +{1 \over 8\pi}A_{{\bar w}}^2+{1 \over 8\pi}{\tilde A}_{{\bar w}}^2~\right)\delta{\bar\tau}\right.$

{+ \frac{i τ_{2}}{2 π} k^{I j} A_{j w} d A_{I \bar{w}} + \frac{i τ_{2}}{2 π} {\tilde{k}}^{I j} {\tilde{A}}_{j \bar{w}} d {\tilde{A}}_{I w}]}_{C o norte s t a norte t} .

$\left.+\frac{i\tau_2}{2\pi}k^{IJ} A_{Jw}\delta A_{I\bar w}+\frac{i\tau_2}{2\pi}{\tilde k}^{IJ}{\tilde A}_{J{\bar w}}\delta \tilde A_{Iw}\right]_{constant}.$

A partir de esto, obtiene inmediatamente el resultado cuando observa que la variación con respecto al campo de calibre simplemente cancela el $\tau_1$ aporte, teniendo ${\bar\tau}-\tau$ que proviene de los términos al cuadrado, y se recupera al integrar.

¿Con qué sustituiría los tensores de tensión-energía? $T_{ww}, T_{\bar w \bar w}$ y las corrientes $J_w, \tilde J_{\bar w}$ ?
Pensé que conectar 6.8 a 7.11 nos daría 7.12. Pero no es así. ¿Cómo explicaría el signo relativo entre $A^2_w$ y $\widetilde A^2_w$ ? ¿Por qué no hay un término como $\tau A_wA_{\bar w}$ a pesar de que tienes $\tau_2$ en 7.11? –
Muchas gracias. Pero, ¿podría explicar más detalladamente cómo se obtiene de la última ecuación que escribió hasta 7.12 en el documento? Obtuve la última ecuación que escribiste antes de publicar esta pregunta en el sitio web. Me gustaría saber la diferencia entre esta ecuación y 7.12. Perdón por mi pregunta estúpida, pero sigo sin entenderlo.
La cuestión es que la ecuación (7.11) sería correcta si en lugar de $\tau_2$ pondrás $\tau$ y $\bar\tau$ respectivamente en los términos vigentes. Además, Kraus se refiere a un sec inexistente. 4.4. Me temo que esta revisión debe tener algunos problemas en la presentación.
¿Cómo explicaría el signo relativo entre $A_w^2$ y $\tilde A_w^2$ aunque lo sustituyas $\tau$ y $\bar\tau$ respectivamente como usted mencionó. La sección 4.4 debería ser la sección 6.4 ya que este artículo de revisión depende en gran medida del artículo de Kraus y Larsen. Entonces no puedes reproducir 7.12, ¿verdad?
Si quiere decir en los términos actuales, esta diferencia de signo debe surgir de $k$ y $\tilde k$ factores
Si observo la ecuación (4.14) en el artículo de Kraus y Larsen, mi sospecha de que cometieron un error es forzada. Llegados a este punto, la mejor solución es ponerse en contacto con ellos.

Derivación de la ecuación. 7.12 en el artículo de revisión de Kraus

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