¿Por qué renormalización holográfica?

El hecho de que la teoría de la frontera sea conforme significa que la renormalización no induce el funcionamiento del acoplamiento. Sin embargo, existen divergencias que deben ser regularizadas y renormalizadas. La regularización requiere la introducción de una escala arbitraria, que no es invariante de Weyl y conduce a una anomalía conforme (en dimensiones pares).

En consecuencia, también la teoría del volumen debe regularizarse mediante la introducción de un punto de corte$\epsilon$en la coordenada radial. Los campos de supergravedad deben expandirse cerca del horizonte y deben introducirse contratérminos locales para restar las divergencias al tomar el límite de$\epsilon\to 0$. Para la métrica, el procedimiento de regularización requiere escoger una métrica de referencia$g_{(0)}$de la estructura conforme en el límite. Para$d$(dimensión de frontera) incluso, la dependencia del contratérmino de la métrica de referencia elegida conduce a un Lagrangiano renormalizado, que no es invariante de Weyl. Uno detecta exactamente la anomalía de Weyl esperada.

Este es un ejemplo muy claro de una conexión de la física UV límite (el corte) y la física IR masiva (divergencias cerca del límite) que conducen a la misma anomalía de Weyl.

Para obtener más información, consulte el artículo de Henningson y Skenderis. También están estas notas de conferencias muy instructivas sobre la renormalización holográfica con el ejemplo de la renormalización de la acción de un escalar a granel masivo.

Anexo : Ejemplo de por qué los correlacionadores CFT necesitan regularización/renormalización
Es bien sabido que la invariancia conforme restringe en gran medida la forma de las funciones de correlación CFT. Por ejemplo, funciones de dos puntos de un operador escalar$\mathcal{O}$están restringidos a

$$\langle\mathcal{O}(x)\mathcal{O}(0)\rangle=\frac{C}{x^{2\Delta}}$$ dónde $\Delta$es la dimensión de escala de $\mathcal{O}$y $C$es una constante de normalización. Sin embargo, es mucho menos conocido que esto es solo un simple correlador y no es válido en $x^{2}=0$. Un correlacionador debe ser una distribución bien definida y tener transformadas de Fourier bien definidas: $$G(p)=\int d^dx\, e^{-ipx}\frac{C}{x^{2\Delta}}=\frac{C\pi^{d/2}2^{d-2\Delta}\Gamma\left(\frac{d-2\Delta}{2}\right)}{\Gamma{\Delta}}p^{2\Delta-d}.$$ Desde el $\Gamma$-función no está definida para argumentos enteros negativos, podemos ver que la regularización es necesaria cuando $\Delta=\frac{d}{2}+n$, dónde $n$es un entero positivo. Esto se puede hacer, por ejemplo, utilizando la regularización dimensional. Después de la adición de un contratérmino en la acción, el correlador se convierte en $$G(p)=p^{2\Delta-d}\left(C_1 \log\frac{p^2}{\mu^2}+C_2\right),$$ que claramente es una expresión dependiente de la escala. La invariancia de escala es una simetría anómala en la teoría cuántica completa . Sin embargo, en $\mathcal{N}=4$super Yang-Mills el acoplamiento está protegido contra el funcionamiento por supersimetría. Por lo tanto, no es la simetría conforme lo que conduce a una desaparición $\beta$-función, pero es SUSY. La desaparición de la $\beta$La función de esta teoría en particular se analiza aquí, incluidas algunas referencias.