Observables CFT cargados y AdS/CFT

Tengo una pregunta simple con respecto al diccionario holográfico al asignar operadores en el lado CFT a los de AdS.

Una parte del diccionario es que una simetría global se asigna a una simetría de calibre en general. Entonces, si tengo operadores cargados bajo la simetría global en el CFT, ingenuamente asumiría que estos son operadores cargados bajo la simetría de calibre en la mayor parte. Sin embargo, dado que la simetría de calibre es una descripción redundante, también deberíamos limitarnos a operadores de calibre singulete, al menos para definir observables en funciones de correlación. Parece que hay una asimetría aquí, todos los operadores cargados en el lado CFT son buenos observables, pero solo aquellos en el mapa de representación singlete para medir los operadores invariantes en masa.

¿Es que los operadores en masa también están todos cargados bajo una simetría global (asumiendo que estamos trabajando en el límite clásico en el lado de la gravedad para que no se rompa)?

Respuestas (1)

Permítanme trabajar en el límite habitual donde una teoría clásica de la gravedad se asigna a una teoría de campo conforme (CFT) que interactúa fuertemente con algún parámetro similar al color norte que se considera muy grande. En este límite, una afirmación central de la correspondencia es que la acción gravitatoria en el caparazón evaluada con ciertas condiciones de contorno para los campos proporciona una función generadora para las funciones de correlación en el lado CFT. Estas condiciones de contorno se interpretan como fuentes para los operadores en el lado CFT dual. En otras palabras, en el lado CFT, he agregado algo como ∫ ϕ 0 O a la acción donde O es mi operador para el que quiero calcular funciones de correlación y ϕ 0 es una fuente En el lado de la gravedad, ϕ 0 luego se interpreta como una condición límite para algún campo de gravedad ϕ . Uso esta condición de contorno para resolver las ecuaciones de Einstein y luego uso esa solución para evaluar la acción. obtengo una relación esquemática de la forma

S gramo r a v ( ϕ 0 ) = W C F T ( ϕ 0 )
dónde
d norte W C F T d ϕ 0 norte = ⟨ O norte ⟩ .

Desde este punto de vista, no hay entonces ningún impedimento evidente para considerar un operador O que se carga bajo alguna simetría global en el lado CFT. De hecho, esa simetría se mide a granel, y habrá algún campo correspondiente ϕ que también se carga bajo esa simetría de calibre. Sin embargo, puedo resolver las ecuaciones de Einstein más Maxwell o Einstein más Yang-Mills en masa con el valor límite especificado ϕ 0 . Incluso si ϕ transforma bajo la simetría de calibre, por lo general restringimos a las transformaciones de calibre locales que caen a cero en el límite. De este modo ϕ 0 será una cantidad bien definida.

Agregado: siguiendo los comentarios a continuación, parece importante agregar lo siguiente. Si bien las transformaciones de calibre que caen en el límite son redundantes, las transformaciones de calibre que no caen en el límite no se miden y no son redundantes. Forman un grupo de simetría asintótica de la teoría de la gravedad. Actúan para cambiar el estado de la CFT y también (a un nivel clásico) para cambiar la solución a las ecuaciones de Einstein. Hay una coincidencia entre el grupo de simetría global de la CFT y las simetrías asintóticas en el lado de la gravedad.

Un ejemplo bien citado de un sistema AdS/CFT con un campo que se transforma bajo una simetría global es el superconductor holográfico: http://arxiv.org/abs/0810.1563 .

Creo que no estaba siendo claro en la pregunta. El problema no es calcular algo en AdS/CFT cuando el CFT tiene una simetría global (el ejemplo prototípico de N=4 SYM tiene una simetría R). La pregunta que tenía se refería a la interpretación. En un QFT con una simetría global, el espacio de Hilbert da una representación del grupo, mientras que las simetrías de calibre corresponden a un reetiquetado de estados. Entonces, una interpretación de AdS/CFT es que los espacios de Hilbert de las teorías deben coincidir (consulte, por ejemplo , pha.jhu.edu/~jaredk/AdSCFTCourseNotesPublic.pdf ).
El problema es entonces que el espacio de Hilbert en el lado CFT parece mucho más grande. Tenemos alguna representación del grupo, mientras que en general esta teoría es calibrada e ingenuamente estamos restringidos al sector singlete. Creo que una solución a este problema es que si el doble a granel tuviera un sector de teoría de calibre de confinamiento, no habríamos conservado las corrientes para la simetría global en el a granel (tendrían algunas dimensiones anómalas). En cambio si tiene una corriente conservada, esta debe ser dual a una fase desconfinada en el bulto.
¿Por qué dices que el espacio de Hilbert debería ser mucho más grande? Deberíamos restringirnos a las transformaciones de calibre que se desvanecen en el límite, donde "vive" la teoría del campo. Las transformaciones de calibre "grandes" que afectan las cantidades límite generan la simetría global de la CFT y no son redundantes de la misma manera que lo son las transformaciones de calibre "pequeñas" que desaparecen en el límite.
Un comentario más: usted dijo en su pregunta que asumiría ingenuamente que los operadores cargados en el CFT corresponden a operadores cargados en gravedad. Creo que eso no está bien. Los valores límite de los campos de gravedad actúan como fuentes para los operadores en el CFT.
1) En la CFT todos los operadores cargados bajo la simetría global pertenecen al espacio de Hilbert. Cuando calibramos una simetría nos proyectamos al sector singlete, reduciendo su tamaño. Esto es lo que sucede a granel, por lo que, ingenuamente, el espacio de Hilbert debería ser mucho más pequeño. No estoy seguro de la relevancia de las transformaciones de calibre a menos que esté implicando que las transformaciones de calibre grande no son redundantes en general. 2) También afirmó que un operador cargado bajo una simetría global es dual a un operador que se transforma bajo la simetría de calibre. Eso es también lo que estaba diciendo.
1) Las transformaciones de gran calibre no son redundantes en su mayor parte. Si lo fueran, uno encontraría cosas desagradables, por ejemplo, dos CFT a diferente potencial químico son equivalentes de calibre. 2) Declaré que el valor límite de un campo de gravedad origina un operador en la CFT. No dije nada sobre operadores cuánticos en el lado de la gravedad. Si lo desea, puede promover el campo clásico a un operador cuántico en el lado de la gravedad. Incluso entonces, es necesario hacer una distinción cuidadosa entre el valor límite de este operador cuántico y su comportamiento general.
1) Estoy de acuerdo en que las transformaciones de gran calibre no son redundantes. Etiquetan diferentes vacua. 2) Sí, estaba hablando de manera clásica y diferentes BC corresponden a diferentes CFT (es decir, con los modelos O (N)), pero la dualidad debería mantenerse a un nivel cuántico y puede usar funciones de correlación CFT para estudiar el interior de AdS. Sin embargo, no creo que estas discusiones sean relevantes. Para que los espacios de Hilbert coincidan, debe haber una coincidencia de simetrías globales (es decir, SU(4) R-simetría en N=4 SYM y SO(6) para AdS5). Creo que esto generalmente se asume y de donde proviene mi pregunta.
Pero si está de acuerdo con las transformaciones de gran calibre, entonces creo que también está de acuerdo en que las simetrías globales coinciden.
No veo que siga. Una teoría de calibre SU(2) en 3+1d tiene un conjunto de transformaciones de calibre grandes indexadas por Z . Las transformaciones de simetría global son desplazamientos constantes que relacionan diferentes vacíos. La teoría de los límites tiene una simetría global SU(2). Son diferentes grupos de simetría.
Ahora me doy cuenta de que tal vez estoy usando "transformación de gran calibre" de una manera no estándar. En la integral de trayectoria para la teoría de la gravedad (sea lo que sea), siempre entendí que uno debe fijar las condiciones de contorno para el campo de calibre en el límite de AdS, de modo que lo que llamo las "transformaciones de calibre grande" son una copia de el grupo de calibre que actúa sobre la teoría de la frontera. En el contexto de los superconductores holográficos, por ejemplo, una transformación de calibre U(1) que no caiga en el límite actuaría para cambiar la fase del condensado.
Hay un hilo relacionado aquí: physicsforums.com/threads/…
Bien, para reafirmar lo que está diciendo, las simetrías asintóticas de la teoría en el espacio AdS corresponden a simetrías globales no medidas, que coincidirán con las simetrías CFT. Esto estoy completamente de acuerdo con. Por lo general, las transformaciones de calibre grandes, al menos para el espacio-tiempo plano, se refieren a un campo de calibre que tiene un número de devanado no trivial en el infinito.
Entonces ya no entiendo tu pregunta inicial. Para mí, el hecho de que estas simetrías comprometidas globales coincidan con las simetrías CFT es el final de la historia.
No, creo que esa podría ser la respuesta a mi pregunta. Mi confusión surgió al pensar que las simetrías asintóticas de AdS actúan solo como simetrías de la teoría de los límites y no como la mayor parte. La advertencia es que hay casos en los que la coincidencia de simetría global es geométrica, como con N=4 SYM.
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