Límites máximos de volumen en AdS/CFT

Estoy estudiando la entropía de entrelazamiento holográfico (HEE) en este artículo (Ryu-Takayanagi, 2006). En la sección 6.3 calculan el HEE para un segmento en una CFT 2D. Para ello, obtienen la geodésica correspondiente en bloque (en el parche de Poincaré) y calculan su longitud.

Entiendo todo ese proceso, pero tengo algunos problemas cuando introducen el corte. La métrica diverge cuando z → 0 así que introducimos un corte ϵ > 0 , Entiendo que. Pero luego dicen

Desde mi ρ ∼ X i / z cerca del límite, encontramos z ∼ a

Aquí, ρ es la coordenada radial hiperbólica en las coordenadas globales para AdS,

d s 2 = R 2 ( − aporrear 2 ⁡ ρ   d τ 2 + d ρ 2 + pecado 2 ⁡ ρ   d Ω 2 )

X i y z son coordenadas en el parche de Poincaré,

d s 2 = R 2 z 2 ( d z 2 − d t 2 + ∑ i ( d X i ) 2 )

Y a es el inverso del corte UV de la CFT en el límite, es decir, el espacio entre los sitios.

Tengo dos problemas:

1) Primero, no veo por qué cerca del límite mi ρ ∼ X i / z . Inventé las relaciones entre ambos sistemas de coordenadas y encuentro relaciones más complicadas que eso (incluso estableciendo z ∼ 0 ).

2) Aún asumiendo el punto anterior, no entiendo por qué obtenemos esa relación entre el CFT y el z cortar.

Respuestas (1)

  1. Para ver por qué la relación debe mantenerse, debe reconocer que necesita transformar los elementos de línea que ha escrito entre sí. Uno puede ver que esto es cierto tomando el logaritmo en ambos lados, lo que produce
    ρ = registro ⁡ X i − registro ⁡ z .
    Tomando la derivada de esta expresión y elevándola al cuadrado se obtiene d ρ 2 = d z 2 / z 2 , que se transforma claramente entre los términos de la métrica que cubre la dirección holográfica.
  2. Como se explica en la sección 6.1, en la posición de corte ρ 0 , que está cerca de la frontera, tenemos la relación
    Exp ⁡ ρ 0 ∼ L a ,
    lo que implica z ∼ a .
1) Bien, entiendo esto. estamos descuidando la X i término, ya que z ∼ 0 , ¿bien? 2) Había mirado esa sección. Yo sé que, ya que para ρ = ρ 0 ∼ ∞ tenemos que la métrica es
d s 2 ∼ mi ρ 0 R 2 ( − d τ 2 + d Ω 2 )
el corte (adimensional) debe ser del orden de mi ρ 0 . Pero mi problema es cuando construimos el corte como L / a . Nosotros escribimos 1 / a porque es el corte UV en el CFT y holográficamente es equivalente al corte a granel y el L es simplemente hacerlo adimensional. ¿Está bien?
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