Resultados Perturbativos Modelo de Kitaev con Campo Magnético

Sí, el resultado exacto se puede encontrar en la ecuación. (30) de nuestro artículo arXiv:1109.4155 :

$$\kappa = \frac{h_xh_yh_z}{8 u_0^2 J^2},$$

dónde$u_0$es un factor numérico que se obtiene resolviendo numéricamente la ecuación de campo medio. Kitaev mencionó en su artículo que$\Delta E = |u_0J|\approx 0.27|J|$(es decir$u_0\approx -0.27$), y proporcionamos un resultado más preciso$u_0\approx −0.262433$en la ecuación (27) de nuestro artículo. La ruta de perturbación explícita se ilustra en la Fig. 5(a) de nuestro artículo (que es una perturbación de tercer orden, no de segundo orden, como se destaca en el artículo de Kitaev).

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Permítanme esbozar brevemente la derivación a continuación. Partimos de un modelo isotrópico de panal de abeja de Kitaev con un campo de Zeeman perturbativo ($|\boldsymbol{h}|\ll J$),

$$H=-J\sum_{\langle ij\rangle}S_i^{a}S_j^{a}-\sum_{i}\boldsymbol{h}\cdot\boldsymbol{S}_i,$$

dónde$a=1,2,3$depende del tipo ($x,y,z$) del enlace$\langle ij\rangle$. Introducir cuatro espinones de Majorana$\chi_i^\alpha$($\alpha=0,1,2,3$) en cada sitio$i$, definida por la relación de anticonmutación$\{\chi_i^\alpha, \chi_{j}^{\beta}\}=\delta_{ij}\delta_{\alpha\beta}$(Observe la normalización inusual del operador de Majorana aquí). Bajo la restricción de calibre (restricción en el sitio)$\chi_{i}^0\chi_{i}^1\chi_{i}^2\chi_{i}^3=1/4$, el operador de espín$\boldsymbol{S}_i$se puede escribir en términos de la forma bilineal de spinon como

$$\boldsymbol{S}_i=\frac{i}{2}\Big(\chi_i^0\boldsymbol{\chi}_i-\frac{1}{2}\boldsymbol{\chi}_i\times\boldsymbol{\chi}_i\Big),$$

donde el vector$\boldsymbol{\chi}_i=(\chi_i^1,\chi_i^2,\chi_i^3)$está hecho de los tres últimos componentes del fermión de Majorana. Podemos ver que el$\chi^0$($c$-fermión) difiere de$\chi^{1,2,3}$($b$-fermión) en este esquema de fraccionamiento. Esta diferencia también se refleja en el hamiltoniano de campo medio$H_\text{MF}$. En el límite imperturbable$\boldsymbol{h}=0$,$H_\text{MF}$puede obtenerse sustituyendo la expresión por$\boldsymbol{S}_i$al espín hamiltoniano y tomar la descomposición en campo medio descrita por Kitaev:

$$H_\text{MF}=J\sum_{\langle ij\rangle}\big(\text{i}u_a \chi_i^0\chi_j^0+\text{i}u_0\chi_i^a\chi_j^a\big),$$

donde el parámetro de enlace$u_\alpha=\langle\text{i}\chi_{i}^\alpha\chi_{j}^\alpha\rangle$(para$\alpha=0,1,2,3$) se determina de manera autoconsistente a partir de la correlación de fermiones de Majorana en el estado fundamental del campo medio (nota$a=1,2,3$se fija por el tipo de enlace, no por un índice ficticio para resumir). Se encuentra que la solución de campo medio dice$u_a=1/2$y

$$u_0=-\frac{1}{3N}\sum_{\boldsymbol{k}\in\text{BZ}}\big|e^{\text{i}k_y}+2e^{-\text{i}k_y/2}\cos(\sqrt{3}k_x/2)\big|\approx -0.262433,$$ dónde $N$es el número de sitios (podemos evaluar la suma numéricamente en una red finita y luego tomar el límite termodinámico $N\to\infty$). La estructura de bandas del espín se puede obtener diagonalizando el hamiltoniano de campo medio, como se muestra a continuación:

Uno puede ver que el$\chi^0$el fermión es itinerante y tiene un espectro sin interrupciones. Pero el$\boldsymbol{\chi}=(\chi^1,\chi^2,\chi^3)$los fermiones se dimerizan en el tipo de enlace correspondiente y, por lo tanto, tienen espacios (como la banda plana). La brecha energética para$\boldsymbol{\chi}$fermiones es$\Delta E=|u_0J|$.

Si solo estamos interesados ​​en la física de baja energía, podemos despreciar la física de alta energía.$\boldsymbol{\chi}$fermiones. Sin embargo, una vez que se introduce el campo Zeeman en el sistema, se enciende la mezcla entre el campo de baja energía$\chi^0$y de alta energía$\boldsymbol{\chi}$fermiones (y también la mezcla entre los componentes de$\boldsymbol{\chi}$). Por lo tanto, una ruta de perturbación ilustrada a continuación se vuelve posible:

lo que da como resultado un acoplamiento del segundo vecino más cercano entre el de baja energía$\chi^0$fermión,

$$H_{\text{MF},0}=\text{i}u_a J\sum_{\langle ij\rangle} \chi_i^0\chi_j^0+\text{i}\kappa\sum_{\langle\!\langle ij\rangle\!\rangle}\chi_i^0\chi_j^0,$$

con el coeficiente$\kappa$dada por la perturbación de tercer orden (ver esta página de Wikipedia para la fórmula de perturbación de tercer orden)

$$\kappa=\Big(\frac{h_x}{2}\Big)\frac{1}{u_0J}\Big(-\frac{h_z}{2}\Big)\frac{1}{u_0J}\Big(-\frac{h_y}{2}\Big)=\frac{h_xh_yh_z}{8u_0^2J^2}.$$

El segundo término de acoplamiento vecino$\kappa$rompe la simetría de inversión del tiempo y separa el fermión de baja energía$\chi^0$. El líquido de espín de Kitaev sin espacios se conduce luego a la fase no abeliana con el orden topológico de Ising.