Densidad de momento canónico frente a tensor de energía-momento

Las dos cantidades no se corresponden porque son cantidades conservadas correspondientes a diferentes simetrías. Una es una simetría de cambiar su campo, la otra de cambiar el espacio-tiempo mismo. Esto es lo que está pasando precisamente:

Primero hagamos un caso más simple: en un sistema de mecánica de partículas, digamos una partícula libre con$L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2$, el "campo" es simplemente$x(t)$. Sin embargo$L$no depende explícitamente de$x$, por lo que podemos cambiar nuestro sistema$x$a$x + \epsilon$y hacer que nuestra acción general no cambie. Siguiendo el procedimiento de Noether, hacemos$\epsilon$dependiente del tiempo, haga la variación nuevamente y recupere el impulso "canónico" conservado, el habitual$m\dot{x}$. También tenga en cuenta que el sistema tampoco depende explícitamente del tiempo. Variar$t$según Noether nos da$H$.

En el caso de la teoría de campos, la recuperación del momento canónico es exactamente análoga. En este caso, nuestro campo es$\varphi$, así que si tomamos$\varphi$a$\varphi + \epsilon \psi$, es decir$\delta \varphi = \epsilon \psi$al ser nuestra variación, podemos recuperar el impulso canónico. La simetría que te da el tensor de tensión-energía, por otro lado, es si cambias tus variables de espacio-tiempo. Llevar$x^{\mu}$a$x^{\mu} + \epsilon^{\mu}$. Esto es equivalente a dejar$\delta \varphi$=$\epsilon^{\mu}\partial_{\mu}\varphi$. Proceder con Noether le da el tensor de energía de estrés (este cálculo se puede encontrar en los libros de texto de teoría de campo estándar).

El impulso canónico$\pi$no es lo mismo que ciertos componentes del tensor de momento de energía$T$. Esto se puede ver yendo a la descripción hamiltoniana. La acción de gj255 da el hamiltoniano,

$$H=\frac{1}{2}\int dx ( \rho\phi_{,0}\phi_{,0}-\kappa\phi_{,1}\phi_{,1}) \ .$$ Aquí las coordenadas del formalismo hamiltoniano son $q^{i}(t)\rightarrow q^{x}(t)\rightarrow \phi(t,x)$. En el formalismo hamiltoniano, los momentos canónicos $p_{i}$son invariantes bajo transformaciones canónicas generadas por el $p^{j}$ellos mismos; esto queda claro en el corchete de Poisson, $$\frac{dp_{i}}{d\epsilon}=[p_{i},p_{j}]_{PB}=0 \ .$$ En la teoría de campos, los momentos $p_{i}(t)\rightarrow p_{x}(t)\rightarrow \pi(t,x)$y así el $\pi(t,x)$es invariante bajo transformaciones canónicas generadas por $\pi(t,y)$. $$\frac{d\pi(t,x)}{d\epsilon}=[\pi(t,x),\pi(t,y)]_{PB}=0$$ Esto es completamente diferente al tensor de impulso de energía. $T$que se deriva del hecho de que la densidad lagrangiana $\mathcal{L}=\mathcal{L}(\phi,\phi_{,\mu})$no tiene una dependencia explícita de $x$y $t$.

Esta respuesta es esencialmente la misma que la de dayareishq pero usa el formalismo hamiltoniano en lugar del de Noether.