Tensor de momento de energía del campo EM escrito en forma simétrica

Question

Tensor de momento de energía del campo EM escrito en forma simétrica

dualidad
Física
simetría
teoría clásica del campo
electrodinámica-clásica
tensión-energía-momentum-tensor

bruce

Estoy leyendo el libro de A. Zee, Einstein Gravity in a Nutshell . En el problema 7 del capítulo IV.2 se dice que el tensor de momento energético del campo electromagnético

\begin{aligned} T^{m v} = η_{λ σ} F^{m λ} F^{v σ} - \frac{1}{4} η^{m v} F_{σ ρ} F^{σ ρ} \end{aligned}

$\begin{align} T^{\mu\nu}=\eta_{\lambda\sigma}F^{\mu\lambda}F^{\nu\sigma}-\frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\sigma\rho}F^{\sigma\rho} \end{align}$ se puede escribir en la forma simétrica usando el tensor electromagnético dual definido como

{\tilde{F}}_{μ ν} = - \frac{1}{2} ϵ_{μ ν λ σ} F^{λ σ}

$\tilde{F}_{\mu\nu}=-\frac{1}{2} \epsilon_{\mu\nu\lambda\sigma}F^{\lambda\sigma}$ ,

\begin{aligned} T^{m v} = \frac{1}{2} η_{λ σ} (F^{m λ} F^{v σ} + {\tilde{F}}^{m λ} {\tilde{F}}^{v σ}) . \end{aligned}

$\begin{align} T^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\eta_{\lambda\sigma}(F^{\mu\lambda}F^{\nu\sigma}+\tilde{F}^{\mu\lambda}\tilde{F}^{\nu\sigma}). \end{align}$ Se menciona en el problema 6 que la clave es la identidad

\begin{aligned} η_{λ σ} (F^{m λ} F^{v σ} - {\tilde{F}}^{m λ} {\tilde{F}}^{v σ}) = \frac{1}{2} η^{m v} F^{ρ τ} F_{ρ τ} \end{aligned}

$\begin{align} \eta_{\lambda\sigma}(F^{\mu\lambda}F^{\nu\sigma}-\tilde{F}^{\mu\lambda}\tilde{F}^{\nu\sigma})=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}F^{\rho\tau}F_{\rho\tau} \end{align}$ Sin embargo, estoy atascado al probar esta identidad. El primer problema es que no puedo separar un

η^{μ ν}

$\eta^{\mu\nu}$ del primer término del lado izquierdo. El segundo problema es que el segundo término tendrá algo así como

ϵ^{μ λ α β} ϵ_{λ γ η}^{ν}

$\epsilon^{\mu\lambda\alpha\beta}\epsilon^{\nu}_{~\lambda\gamma\eta}$ después de conectar la expresión de tensor dual, pero no sé cómo simplificarlo. ¿Alguna pista sobre la prueba de esta identidad?

wah

¿Cual es tu meta? Si su objetivo es simplemente derivar un tensor EM simétrico para el campo EM, entonces varíe la acción EM con respecto a la métrica, por ejemplo, como se hace en el libro de Carroll en la Sección 4.3.

bruce

Solo tengo curiosidad de cómo se deriva la última identidad ya que estoy revisando todos los problemas en el libro de Zee. Es uno de los problemas, así que creo que no será demasiado complicado.

Respuestas (2)

Tensor de momento de energía del campo EM escrito en forma simétrica

¿Cual es tu meta? Si su objetivo es simplemente derivar un tensor EM simétrico para el campo EM, entonces varíe la acción EM con respecto a la métrica, por ejemplo, como se hace en el libro de Carroll en la Sección 4.3.
Solo tengo curiosidad de cómo se deriva la última identidad ya que estoy revisando todos los problemas en el libro de Zee. Es uno de los problemas, así que creo que no será demasiado complicado.

SaidurRahman · Answer 1

Puedes expresar el producto de dos $\epsilon$ está usando lo siguiente:

ϵ^{m λ α β} ϵ_{τ λ γ η} = ϵ^{λ m α β} ϵ_{λ τ γ η} = ϵ^{m α β} ϵ_{τ γ η}

$\epsilon^{\mu\lambda\alpha\beta} \epsilon_{\tau\lambda\gamma\eta}= \epsilon^{\lambda\mu\alpha\beta} \epsilon_{\lambda\tau\gamma\eta}=\epsilon^{\mu\alpha\beta} \epsilon_{\tau\gamma\eta}$

= d_{τ}^{m} (d_{γ}^{α} d_{η}^{β} - d_{η}^{α} d_{γ}^{β}) - d_{γ}^{m} (d_{τ}^{α} d_{η}^{β} - d_{η}^{α} d_{τ}^{β}) + d_{η}^{m} (d_{τ}^{α} d_{γ}^{β} - d_{γ}^{α} d_{τ}^{β})

$=\delta^\mu_\tau(\delta^\alpha_\gamma \delta^\beta_\eta-\delta^\alpha_\eta \delta^\beta_\gamma)-\delta^\mu_\gamma(\delta^\alpha_\tau \delta^\beta_\eta-\delta^\alpha_\eta \delta^\beta_\tau)+\delta^\mu_\eta(\delta^\alpha_\tau \delta^\beta_\gamma-\delta^\alpha_\gamma \delta^\beta_\tau)$

Gracias. Creo que esto puede encargarse del segundo término para producir lo que queremos, pero ¿alguna sugerencia sobre qué hacer con el primer término? Los índices libres están en dos F, y creo que es crucial moverlos a la métrica. Todavía no puedo encontrar una manera de hacer esto.
Gracias, resulta que siempre que se simplifique el segundo término, dará un término que cancelará el primer término, ¡y el recordatorio es lo que queremos!

lucenalex · Answer 2

El primer paso es resolver el segundo problema, que es encontrar el producto $\tilde{F}_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu}$ . Para esto, necesitarás calcular el producto.

\begin{matrix} (1) & ϵ^{α β γ d} ϵ_{m v ρ σ} = {(- 1)}^{s} d_{m v ρ σ}^{α β γ d}, \end{matrix}

$\begin{equation} \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}=\left( -1\right) ^{s}\delta_{\mu\nu\rho\sigma}^{\alpha\beta\gamma\delta} ,\tag{1}\label{eq1} \end{equation}$ dónde

s

$s$ es el número de valores propios negativos de la métrica [ 1 ] y

δ_{μ ν ρ σ}^{α β γ δ}

$\delta_{\mu\nu\rho\sigma}^{\alpha\beta\gamma\delta}$ es el delta de Kronecker generalizado, que podemos expresar como

\begin{matrix} (2) & d_{m v ρ σ}^{α β γ d} = d_{σ}^{d} d_{m v ρ}^{α β γ} - d_{σ}^{γ} d_{m v ρ}^{α β d} + d_{σ}^{β} d_{m v ρ}^{α γ d} - d_{σ}^{α} d_{m v ρ}^{β γ d} . \end{matrix}

$\begin{equation} \delta_{\mu\nu\rho\sigma}^{\alpha\beta\gamma\delta}=\delta_{\sigma}^{\delta }\delta_{\mu\nu\rho}^{\alpha\beta\gamma}-\delta_{\sigma}^{\gamma}\delta _{\mu\nu\rho}^{\alpha\beta\delta}+\delta_{\sigma}^{\beta}\delta_{\mu\nu\rho }^{\alpha\gamma\delta}-\delta_{\sigma}^{\alpha}\delta_{\mu\nu\rho} ^{\beta\gamma\delta}.\tag{2}\label{eq2} \end{equation}$ Puede encontrar un estudio general del delta de Kronecker en [ 2 ].

Una vez sabiendo $\eqref{eq1}$ , podrás calcular el producto $\tilde{F}_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu}$ .

El primer problema se puede resolver mediante un juego de índices ascendentes y descendentes, siempre y cuando recuerdes que

\begin{matrix} (3) & η_{m ρ} η^{m ρ} = d_{m}^{m} = 4 \to \frac{1}{4} η_{m ρ} η^{m ρ} = 1. \end{matrix}

$\begin{equation} \eta_{\mu\rho}\eta^{\mu\rho}=\delta_{\mu}^{\mu}=4\rightarrow\dfrac{1}{4} \eta_{\mu\rho}\eta^{\mu\rho}=1.\tag{3}\label{eq3} \end{equation}$

1 Sean Carrol, Espacio-tiempo y geometría : una introducción a la relatividad general .

2 David Lovelock y Hanna Rund, Tensor, formas diferenciales y principios variacionales , sección 4.2, página 109.

Gracias. Resuelvo este problema siguiendo tu sugerencia. ¡Las dos identidades que muestras aquí son cruciales!

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bruce

wah

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