Tensor de impulso de energía de la corriente de Noether generalizada

Question

Tensor de impulso de energía de la corriente de Noether generalizada

Física
teorema de noethers
leyes-de-conservacion
conservación de energía
teoría clásica del campo
tensión-energía-momentum-tensor

Nanashi no Gombe

Procediendo como aquí , consideremos $N$ campos escalares independientes que satisfacen las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange y se denotan por $\phi^{(i)}(x) \ ( i = 1,...,N)$ , y se extienden en una región $\Omega$ en un $D$ -modelo dimensional espacio-tiempo $\mathcal{M}_D$ . Ahora considere la densidad lagrangiana clásica, $\mathcal{L}(\phi^{(i)}, \partial_\mu \phi^{(i)}, x^\mu)$ . Aplicamos la siguiente transformación infinitesimal de frontera fija a $\mathcal{M}_D$ .

\begin{aligned} (1) & X & \to {\tilde{X}}^{m} \equiv X^{m} + d X^{m} (X), \\ (2) & y los campos se transforman como: ϕ^{(i)} (X) & \to {\tilde{ϕ}}^{(i)} (\tilde{X}) \equiv ϕ^{(i)} (X) + d ϕ^{(i)} (X) . \end{aligned}

$\begin{align*} x &\to \widetilde{x}^\mu \equiv x^\mu + \delta x^\mu (x), \tag{1} \\ \text{and the fields transform as: }\ \phi^{(i)}(x) &\to \widetilde{\phi}^{(i)}(\widetilde{x}) \equiv \phi^{(i)} (x) + \delta\phi^{(i)} (x). \tag{2} \\ \end{align*}$

En consecuencia , hasta el primer orden en la variación, la densidad lagrangiana viene dada por:

\begin{matrix} (3) & d L = \partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ^{(i)})} (d ϕ^{(i)} - \partial_{v} ϕ^{(i)} d X^{v}) + L d X^{m}) - L \partial_{m} (d X^{m}) . \end{matrix}

$\boxed{ \delta \mathcal{L} = \partial_\mu \Big( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )}(\delta\phi^{(i)} - \partial_\nu \phi^{(i)} \delta x^\nu) + \mathcal{L} \delta x^\mu \Big) - \mathcal{L} \partial_\mu (\delta x^\mu) } \,. \tag{3}$

Ahora, siguiendo la ruta convencional para encontrar el tensor de energía-momento, considere que $\mathcal{L}$ no depende explícitamente de las coordenadas del espacio-tiempo y que la variación $\delta\phi^{(i)}$ es inducida por la traslación infinitesimal $\delta x^\mu \equiv \epsilon \ a^\mu(x)$ para algún número infinitesimal $\epsilon > 0$ , bajo el cual

\begin{matrix} (4) & {\tilde{ϕ}}^{(i)} (\tilde{X}) = ϕ^{(i)} (X + ϵ a) = ϕ^{(i)} (X) + ϵ a^{m} \partial_{m} ϕ^{(i)} (X) + O (ϵ^{2}) . \end{matrix}

$\widetilde{\phi}^{(i)}(\widetilde{x}) = \phi^{(i)} (x + \epsilon \ a)=\phi^{(i)}(x) + \epsilon \ a^\mu \partial_\mu\phi^{(i)}(x) + \mathcal{O}(\epsilon^2) \,. \tag{4}$

La variación $\delta\phi^{(i)}$ a primer orden en $\epsilon$ , por lo tanto viene dada por

\begin{matrix} (5) & d ϕ^{(i)} = ϵ a^{m} \partial_{m} ϕ^{(i)} = \partial_{m} ϕ^{(i)} d X^{m} \end{matrix}

$\delta\phi^{(i)}=\epsilon \ a^\mu \partial_\mu\phi^{(i)}=\partial_\mu\phi^{(i)}\delta x^\mu \tag{5}$

lo que significa en conjunción con (3) que

\begin{matrix} (6) & d L = \partial_{m} L d X^{m} = ϵ a^{m} \partial_{m} L = ϵ (\frac{\partial}{\partial ϵ} L ({\tilde{ϕ}}^{(i)} (\tilde{X}), {\tilde{\partial}}_{m} {\tilde{ϕ}}^{(i)} (\tilde{X})))_{ϵ = 0} . \end{matrix}

$\delta \mathcal{L} = \partial_\mu \mathcal{L} \delta x^\mu=\epsilon \ a^\mu \partial_\mu\mathcal{L} = \epsilon \Big(\frac{\partial}{\partial \epsilon} \mathcal{L}\big(\widetilde{\phi}^{(i)}(\widetilde{x}), \widetilde{\partial}_\mu \widetilde{\phi}^{(i)}(\widetilde{x})\big)\Big)_{\epsilon=0}\,. \tag{6}$

La ecuación (6) es tautológica y no nos da ninguna información nueva. No veo cómo puedo proceder para encontrar el tensor de energía-momento siguiendo esta ruta.

Respuestas (1)

Tensor de impulso de energía de la corriente de Noether generalizada

Nanashi no Gombe · Answer 1

Te estás perdiendo una parte importante de la suposición aquí, que es que debes considerar una transformación activa de los campos para lograr tu objetivo de encontrar el tensor de tensión-energía. En su notación, es decir

\begin{matrix} (7) & {\tilde{ϕ}}^{(i)} (\tilde{X}) = ϕ^{(i)} (X) . \end{matrix}

$\widetilde{\phi}^{(i)}(\widetilde{x}) = \phi^{(i)} (x) \,. \tag7$

Eso significa $\, \delta \phi^{(i)} = 0$ , lo que implica que la corriente de Noether conservada es

\begin{matrix} (8) & j^{m} = - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ^{(i)})} \partial_{v} ϕ^{(i)} d X^{v} + L d X^{m} + F^{m} = {Θ^{m}}_{v} d X^{v} + F^{m} \end{matrix}

$J^\mu = -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )} \partial_\nu \phi^{(i)} \delta x^\nu + \mathcal{L} \delta x^\mu + F^\mu = {\Theta^\mu}_\nu \delta x^\nu + F^\mu \tag8$

dónde

\begin{matrix} (9) & {Θ^{m}}_{v} \equiv - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ^{(i)})} \partial_{v} ϕ^{(i)} + {d^{m}}_{v} L \end{matrix}

${\Theta^\mu}_\nu \equiv -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^{(i)} )} \partial_\nu \phi^{(i)} + {\delta^\mu}_\nu \mathcal{L} \tag9$

con la propiedad que

(\partial_{m} {Θ^{m}}_{v}) d X^{v} + {Θ^{m}}_{v} \partial_{m} (d X^{v}) + \partial_{m} F^{m} = 0

$(\partial_\mu {\Theta^\mu}_\nu)\delta x^\nu + {\Theta^\mu}_\nu \partial_\mu (\delta x^\nu) + \partial_\mu F^\mu = 0$

\begin{matrix} (10) & \Rightarrow (\partial_{m} {Θ^{m}}_{v}) d X^{v} + \partial_{m} F^{m} = 0 . \end{matrix}

$\Rightarrow (\partial_\mu {\Theta^\mu}_\nu)\delta x^\nu + \partial_\mu F^\mu = 0 \,. \tag{10}$

Tenga en cuenta que hemos utilizado que $\delta x^\nu$ es un cambio constante en las coordenadas espacio-temporales.

esta cantidad ${\Theta^\mu}_\nu$ es un posible candidato para el tensor de tensión-energía ${T^\mu}_\nu$ . Sin embargo, recordemos que una característica importante de este último es que es simétrico. Podemos utilizar la flexibilidad en la elección del campo auxiliar $F^\mu$ para construir el tensor simétrico que requerimos. Elija el siguiente campo

\begin{matrix} (11) & F^{m} \equiv {Θ_{v}}^{m} d X^{v} \end{matrix}

$F^\mu \equiv {\Theta_\nu}^\mu \delta x^\nu \tag{11}$

y definir el tensor esfuerzo-energía por

\begin{matrix} (12) & T^{m v} \equiv Θ^{m v} + Θ^{v m} . \end{matrix}

$T^{\mu\nu} \equiv \Theta^{\mu\nu} + \Theta^{\nu\mu} \,.\tag{12}$

La ecuación (10) ahora implica que

\begin{matrix} (13) & \partial_{m} T^{m v} = 0 \end{matrix}

$\boxed{\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0} \tag{13}$

¡NOTA/PRECAUCIÓN!

Para que la ecuación (11) refleje una elección válida, es necesario asumir condiciones de caída asintótica adecuadas para los campos, sus derivados y el lagrangiano. Esto se debe a que el constante cambio de espacio-tiempo $\delta x^\mu$ no desaparece en el infinito, por lo que $\Theta^{\mu\nu}$ debe compensar esto.
Consideraste una transformación pasivay eso no funcionó bien por muy buenas razones. El tensor de tensión-energía de un sistema es una cantidad física que permanece conservada si hay una simetría del sistema con respecto a las traslaciones del espacio-tiempo (recuerde de la mecánica que la simetría de la traslación del tiempo se relaciona con la conservación de la energía y la simetría de la traslación del espacio produce la conservación del momento) . Por lo tanto, solo necesita transformar físicamente la configuración del campo. La configuración del campo transformado debe relacionarse con el original mediante una traducción espacio-temporal. Esto es diferente de mantener fija la configuración real del campo y transformar su sistema de coordenadas y observar cómo aparecen los campos físicos fijos de su nuevo sistema de coordenadas. Eso no es lo que quieres hacer. El principio físico es que sus campos tienen una cierta simetría y, por lo tanto, necesariamente necesita transformar sus campos para probar la naturaleza de la simetría. Por lo tanto, se requieren transformaciones activas.
Estas notas son una excelente compilación de los principios físicos fundamentales necesarios para comprender el tensor de tensión-momento.

Tensor de impulso de energía de la corriente de Noether generalizada

Nanashi no Gombe

Respuestas (1)

Nanashi no Gombe

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