Densidad de estados para oscilador armónico simple 3D

Tengo la función de partición térmica y la densidad de estados para el oscilador armónico simple 3D, que se dan a continuación

Z ( β ) = 1 ( 2 pecado ⁡ ( β ω 2 ) ) 3
y
ρ ( mi ) = ( mi ω − 1 2 ) ( mi ω + 1 2 ) 2 ω
dónde β es la temperatura inversa y ω es la frecuencia natural del SHO.

Ahora, la función de partición también se puede escribir como la siguiente integral

Z ( β ) = ∫ 0 ∞ d mi ρ ( mi ) mi − β mi
que es una transformada de Laplace, por lo que podemos calcular la asintótica de la densidad de estados invirtiendo esta transformada de Laplace. La transformada inversa de Laplace se puede hacer usando la integral de contorno de Bromwich que es
ρ ( mi ) = 1 2 π i ∫ γ − i ∞ γ + i ∞ d β Z ( β ) mi β mi
dónde γ es mayor que la parte real de todas las singularidades de Z ( β ) . Ahora, traté de hacer esta integral usando el teorema del residuo cerrando el contorno en la mitad izquierda del plano complejo. Pero de alguna manera obtengo la densidad correcta de estados usando el residuo de un solo polo, mientras que hay un número infinito de polos en el eje imaginario debido a la periodicidad de la función del seno hiperbólico (en el eje imaginario).

¿Alguien puede explicar dónde me equivoco en este proceso?

PD También sabemos que norte = mi ω − 3 2 es un entero positivo.

Como mencioné en mi respuesta, su primera expresión para ρ ( mi ) no es la densidad de estados para este sistema, es solo una aproximación (suave) válida en general mi . Los enlaces en mi respuesta explican de dónde proviene este tipo de aproximación. Además, cuando se habla de una integral sobre energía mi , no es posible decir (como lo hace en su "PS") que solo toma valores discretos, a menos que lo escriba en términos de funciones delta de Dirac o similar.

Respuestas (1)

De ninguna manera soy un experto en este campo, pero parecía una pregunta interesante, así que investigué un poco. Como nadie más ha respondido, aquí va.

Este enfoque se remonta a mucho tiempo atrás y tiene mucha relevancia para los sistemas moleculares con estados cuánticos mucho más generales (combinaciones de vibraciones anarmónicas, niveles de rotación, etc.) y aplicaciones a la teoría de reacciones unimoleculares. Creo que el primer artículo que trata sobre su sistema específico de osciladores armónicos múltiples es de E Thiele J Chem Phys, 39, 3258 (1963) . Aborda el problema exactamente de la manera que usted describe. La cita relevante de ese documento, que responde a su pregunta, es

Aquí nuevamente, las singularidades en Φ / β son todos los polos ubicados en el eje imaginario. Debido al término mi β ϵ en el integrando, los residuos en todos los polos excepto el polo en el origen contribuirán con términos oscilantes a la expresión para W ( ϵ ) . Por lo tanto, podemos esperar razonablemente encontrar una buena aproximación suave a W ( ϵ ) considerando sólo la contribución del residuo en β = 0 .

(Obviamente, su expresión para la densidad de estados es solo una aproximación suave asintótica, presumiblemente válida a alta energía, ya que el espectro de energía real de un sistema finito de osciladores cuánticos es discreto. Así que esto es presumiblemente lo que busca).

Hay mucha literatura sobre este tipo de cosas, incluida una revisión anterior de Wendell Forst Chemical Reviews, 71, 339 (1971) , y documentos que citan esta revisión, que puede ver en línea (lamentablemente, no he encontrado ninguna abierta). acceder a las versiones de estos documentos).

Espero que esto sea útil: dudo que pueda decir algo más ya que, como dije, no soy realmente un experto. Tal vez otros le den más detalles, si los necesita.

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