¿Cuál es la forma cerrada de la suma relacionada con el DOS del movimiento armónico simple?

Existe una manipulación formal que puede responder a su pregunta utilizando fórmulas conocidas. Entonces, déjame escribir

$$\epsilon_n=(2n+1)\epsilon_0$$ ser $\epsilon_0=\hbar\omega/2$y $$\delta(\epsilon-\epsilon_n)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{2\pi}e^{-i(\epsilon-\epsilon_n)t}.$$ Entonces, $$D(\epsilon)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{2\pi}e^{-i\epsilon t} \sum_{n=0}^\infty e^{i(2n+1)\epsilon_0 t}$$ donde he intercambiado formalmente la suma con la integral (solo uno de mis pasos matemáticos aún por justificar). La suma normalmente no converge. Por ejemplo, si truncamos el espectro en $n=k$uno obtiene $$\sum_{n=0}^k e^{i(2n+1)\epsilon_0 t}= \frac{e^{i(3+2k)\epsilon_0 t}-e^{i\epsilon_0 t}}{e^{i2\epsilon_0 t}-1}$$ que para el devenir exponencial $1$produce que la suma tiende a infinito al igual que $k$. Pero los físicos tienen muchos recursos para hacer frente a estas situaciones. Podemos recurrir a una de las técnicas del libro de Hardy e introducir un factor convergente en la serie como $$\sum_{n=0}^\infty e^{i(2n+1)\epsilon_0 t-\delta n} = \frac{e^{\delta+i\epsilon_0 t}}{-e^{2i\epsilon_0 t}+e^{\delta}}$$ y el limite $\delta\rightarrow 0$da el resultado que queríamos. Así que finalmente $$D(\epsilon)=-\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{4\pi i}e^{-i\epsilon t}\frac{1}{\sin\epsilon_0 t}$$ ese es el resultado final siempre que agreguemos una regla para eludir todos los polos que surgen debido a la función seno en el denominador (ver más abajo). Solo fíjate que por $\epsilon_0 t\ll 1$uno tiene $\sin\epsilon_0 t\approx \epsilon_0 t$. Ahora, debe agregar una regla para sortear el poste en $t=0$y esto se hace de la manera estándar agregando un $i\epsilon$en el denominador dando $$D(\epsilon)=-\frac{1}{\hbar\omega}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{2\pi i}e^{-i\epsilon t}\frac{1}{t+i\epsilon}.$$ Esta es exactamente la definición de la $\theta$funcion y asi $$D(\epsilon)\approx \frac{1}{\hbar\omega}\theta(\epsilon).$$