Demuestre que (kn)!(kn)!(kn)! es divisible por (k!)n(k!)n(k!)^n

$k!|(1.2.3.\dots k)$

$k!|(k+1).(k+2)\dots(2k )$

y así hasta que,

$k!|((n-1)k+1)((n-1)k+2)\dots (nk)$

así tenemos el resultado.

Sabemos que el número de formas de elegir$k$objetos de una colección de$n$($n\ge k$) objetos idénticos es$n \choose k$(se puede demostrar fácilmente) que por definición es un número entero.

Pero$\displaystyle {n\choose k}=\frac{(n-k+1).(n-k+2)\dots (n)}{k!}$

Entonces podemos concluir de esto que todo producto de k enteros consecutivos es divisible por$k!$

Es posible que aún no hayas hecho la teoría de grupos, pero así es como es posible usar el teorema de Lagrange para demostrar el resultado que deseas (y uno un poco más fuerte). El teorema de Lagrange dice que el orden de un subgrupo$H$de un grupo finito$G$divide el orden de$G$- es uno de los teoremas más básicos e importantes en la teoría de grupos finitos.

Un grupo finito importante es el grupo simétrico$S_{m},$el grupo de todas las posibles permutaciones de$m$objetos, con composición de operación de grupo. El grupo simétrico$S_{nk}$tiene un subgrupo que es el producto directo de$n$Copias de$S_{k},$donde el$i$-ésimo factor es el grupo de todas las permutaciones de$\{1+(i-1)n, \ldots, k +(i-1)n \}$(arreglando todos los puntos restantes). Este subgrupo (es decir, todo el producto directo) claramente tiene orden$(k!)^{n},$entonces el teorema de Lagrange da lo que quieres.

De hecho, podemos hacerlo un poco mejor. Hay un subgrupo$S_{k} \wr S_{n}$de$S_{kn}$, que tiene ese producto directo como su "grupo base", y luego permutamos estos$n$bloques de tamaño$k$alrededor como$S_{n}$hace (tratando los bloques de tamaño$k$como "puntos"). Este grupo sigue siendo un subgrupo de$S_{kn},$y es el subgrupo más grande de$S_{kn}$que conserva la descomposición elegida en$n$bloques de tamaño$k.$tiene orden$n!(k!)^{n}.$Por lo tanto, es de hecho el caso de que$n!(k!)^{n}$divide$(nk)!$.

Ya se ha dado una respuesta. Aquí está otro:

$$\frac{(k\cdot n)!}{(k!)^n}=\binom{k\cdot n}{k,k,\ldots,k}$$ (con $n$ocurrencias de $k$a la derecha) es un coeficiente multinomial , que se sabe que es un número entero.

Más generalmente,

$$\binom{k_1+k_2+\cdots+k_n}{k_1,k_2,\ldots,k_n} =\frac{(k_1+k_2+\cdots+k_n)!}{k_1!\cdot k_2!\cdots k_n!}$$ es el número de formas de seleccionar $n$subconjuntos $S_1$, …, $S_n$de un conjunto de $k_1+k_2+\cdots+k_n$miembros, con $S_j$tener cardinalidad $k_j$.

Puede ver esto por razonamiento combinatorio directo: puede especificar tal selección simplemente ordenando el conjunto grande, luego tomando$S_1$ser el primero$k_1$miembros en el pedido, y así sucesivamente. Hay$(k_1+k_2+\cdots+k_n)!$para hacer esto, pero luego ha sobreestimado por un factor$k_1!\cdot k_2!\cdots k_n!$, ya que permutando los miembros de cualquier$S_j$no cambia la selección.