Demuestre estas identidades usando la identidad del triple producto de Jacobi.

Question

Demuestre estas identidades usando la identidad del triple producto de Jacobi.

Matemáticas
combinatoria
teoría de los números
producto infinito
secuencias y series

Usuario

Estoy solicitando ayuda para derivar algunas identidades de la identidad del producto triple de Jacobi:

\sum_{norte = - \infty}^{\infty} z^{norte} q^{{norte}^{2}} = \prod_{norte \geq 0} (1 - q^{2 norte + 2}) (1 + z q^{2 norte + 1}) (1 + z^{- 1} q^{2 norte + 1})

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}z^nq^{n^2}=\prod_{n\geq 0}(1-q^{2n+2})(1+zq^{2n+1})(1+z^{-1}q^{2n+1})$

Aquí está la primera identidad a derivar:

\sum_{norte = - \infty}^{\infty} (- 1)^{norte} q^{{norte}^{2}} = \prod_{metro \geq 1} \frac{(1 - q^{metro})}{(1 + q^{metro})}

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nq^{n^2}=\prod_{m\geq 1}\frac{(1-q^m)}{(1+q^m)}$ He llegado hasta aquí, pero no estoy seguro de adónde ir después:

\sum_{norte = - \infty}^{\infty} (- 1)^{norte} q^{{norte}^{2}} = \prod_{metro \geq 1} (1 - q^{2 metro + 1}) (1 - q^{2 metro})^{2} \cdot \frac{(1 + q^{metro})}{(1 + q^{metro})}

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nq^{n^2}=\prod_{m\geq 1}(1-q^{2m+1})(1-q^{2m})^2\cdot \frac{(1+q^m)}{(1+q^m)}$ También necesito probar esta identidad para valores impares de

n

$n$ :

pag (norte) = \sum_{metro \geq 1} (- 1)^{metro + 1} [pag (norte - metro (2 metro - 1)) + pag (norte - metro (2 metro + 1))]

$p(n)=\sum_{m \geq 1}(-1)^{m+1}\left[ p(n-m(2m-1))+p(n-m(2m+1))\right]$ yo conozco la de euler

p (n)

$p(n)$ La fórmula se puede derivar de la identidad del producto triple, pero ¿cómo puedo hacer que sea solo la probabilidad?

Respuestas (2)

Demuestre estas identidades usando la identidad del triple producto de Jacobi.

Marco Cantarini · Answer 1

La primera identidad: del triple producto de Jacobi tenemos que

\sum_{norte = - \infty}^{\infty} {(- 1)}^{norte} q^{{norte}^{2}} = \prod_{norte \geq 1} (1 - q^{2 norte}) {(1 - q^{2 norte - 1})}^{2} =

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(-1\right)^{n}q^{n^{2}}=\prod_{n\geq1}\left(1-q^{2n}\right)\left(1-q^{2n-1}\right)^{2}=$

= \prod_{norte \geq 1} (1 - q^{2 norte}) \prod_{norte \geq 1, norte o d d} {(1 - q^{norte})}^{2} =

$=\prod_{n\geq1}\left(1-q^{2n}\right)\prod_{n\geq1,\, n\, odd}\left(1-q^{n}\right)^{2}=$

= \prod_{norte \geq 1} (1 - q^{2 norte}) \prod_{norte \geq 1} \frac{{(1 - q^{norte})}^{2}}{{(1 - q^{2 norte})}^{2}} = \prod_{norte \geq 1} \frac{{(1 - q^{norte})}^{2}}{(1 - q^{2 norte})} =

$=\prod_{n\geq1}\left(1-q^{2n}\right)\prod_{n\geq1}\frac{\left(1-q^{n}\right)^{2}}{\left(1-q^{2n}\right)^{2}}=\prod_{n\geq1}\frac{\left(1-q^{n}\right)^{2}}{\left(1-q^{2n}\right)}=$

\prod_{norte \geq 1} \frac{{(1 - q^{norte})}^{2}}{(1 + q^{norte}) (1 - q^{norte})} = \prod_{norte \geq 1} \frac{(1 - q^{norte})}{(1 + q^{norte})} .

$\prod_{n\geq1}\frac{\left(1-q^{n}\right)^{2}}{\left(1+q^{n}\right)\left(1-q^{n}\right)}=\prod_{n\geq1}\frac{\left(1-q^{n}\right)}{\left(1+q^{n}\right)}.$ Estoy trabajando en el segundo.

ese fue un buen truco con el n impar. Gracias. Avísame si tienes consejos para el otro.
@User Probé algunas formas, pero sin éxito. Parece que el teorema del número pentagonal no ayuda aquí, y si usamos el triple producto de Jacobi en la serie $\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(-1\right)^{n}x^{n\left(2n+1\right)}$ (a ver si sale algun producto interesante) nos sale $\prod_{norte \geq 1} (1 - X^{4 norte - 1}) (1 - X^{4 norte - 3}) (1 - X^{4 norte})$ $\prod_{n\geq1}(1-x^{4n-1})(1-x^{4n-3})(1-x^{4n})$ y no veo cómo se puede vincular esto a la partición de un número impar. Sin embargo, encontré una relación de recurrencia de $P(2n-1)$ pero no agradable que el tuyo. ¿Estás seguro de que no hay errores en la pregunta?
No puedo etiquetarte, pero tal vez esto ayude. Dejé fuera la segunda parte: $p(n)=\sum_{m \geq 1}(-1)^{m+1}\left[ p(n-m(2m-1))+p(n-m(2m+1))\right] =p(n-1)+p(n-3)-p(n-6)-p(n-10)+p(n-15)+p(n-21)\pm \cdots$ tal vez eso ayude
@User Todos estos son números triangulares. Tal vez sea útil, pero en este momento no lo sé.

Paramanand Singh · Answer 2

Para el segundo problema podemos reemplazar $q$ con $q^{2}$ y establecer $z=-q$ en la Triple Identidad de Producto de Jacobi para obtener

\frac{\prod_{norte = 1}^{\infty} (1 - q^{norte})}{\prod_{norte = 1}^{\infty} (1 - q^{2 (2 norte - 1)})} = \sum_{norte = - \infty}^{\infty} (- 1)^{norte} q^{norte (2 norte + 1)}

$\dfrac{{\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})}}{{\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-q^{2(2n-1)}\right)}}= \sum_{n = -\infty}^{\infty}(-1)^{n}q^{n(2n+1)}$ y tenga en cuenta que

\sum_{norte = 0}^{\infty} pag (norte) q^{norte} = {\prod_{norte = 1}^{\infty} (1 - q^{norte})}^{- 1}

$\sum_{n=0}^{\infty}p(n)q^{n}=\left\{\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})\right\}^{-1}$ de modo que

\sum_{norte = 0}^{\infty} pag (norte) q^{norte} \sum_{norte = - \infty}^{\infty} (- 1)^{norte} q^{norte (2 norte + 1)} = \prod_{norte = 1}^{\infty} {(1 - q^{2 (2 norte - 1)})}^{- 1}

$\sum_{n=0}^{\infty}p(n)q^{n}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}q^{n(2n+1)}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-q^{2(2n-1)}\right)^{-1}$ y por lo tanto los coeficientes de potencias impares de

q

$q$ son cero en LHS. Encontrar la expresión del coeficiente de

q^{n}

$q^{n}$ con

n

$n$ impar nos da la fórmula de recurrencia deseada.

Demuestre estas identidades usando la identidad del triple producto de Jacobi.

Usuario

Respuestas (2)

Marco Cantarini

Usuario

Usuario

Marco Cantarini

Usuario

Marco Cantarini

Paramanand Singh

Paramanand Singh

Demuestre esta identidad utilizando la identidad de producto triple de Jacobi

¿Existen huecos primos arbitrariamente largos en los que cada número tiene al menos tres factores primos distintos?

Demostración de límites en un producto infinito

¿La Regla de Collatz 3x+53x+53x+5 tiene un sesgo para ciertos bucles, o mis resultados son defectuosos?

Dado el MCD y el MCM de n enteros positivos, ¿cuántas soluciones hay?

Número de series de Fibonacci que contienen un cierto número entero

Un invariante útil que representa el "tamaño" de un subgrupo multiplicativo de Q+Q+\Bbb Q^+

Dos relaciones en serie, cada una implica a la otra - del libro de particiones de Andrews

Suma de los cuadrados inversos de la hipotenusa de los triángulos pitagóricos

Existencia de un subconjunto tal que el producto de sus elementos es un cuadrado perfecto