Pruebalo utilizando argumentos combinatorios.
(EDITADO)
Quiero ver si entendí el enfoque de Brian M. Scott, así que intentaré nuevamente usando un enfoque analógico.
se puede reescribir como
Podemos usar la analogía de las personas haciendo fila para comprar boletos para ver un concierto. digamos que solo hay número de entradas disponibles para la venta. "Elegir" quién puede asistir al concierto se puede hacer de dos maneras.
La primera forma (la RHS), tenemos cantidad de boletos a la venta pero gente que quiere comprar las entradas. Por lo tanto, hay formas de "elegir" quién va a asistir al concierto.
La segunda forma (la LHS) es seleccionar la última persona en la fila para comprar el primer boleto (creo que este fue el paso que me perdí en mi primer intento). Entonces, elegimos de los restantes gente a comprar entradas. O podemos prohibir que la última persona de la fila compre un boleto y elegir a la penúltima persona de la fila para que compre el primer boleto. Entonces nosotros tenemos maneras. Esto continúa hasta que llegamos al caso en el que elegimos el persona en la fila para comprar el primer boleto (prohibir que todos los que están detrás de él / ella compren un boleto). Esto se puede hacer en maneras.
Por lo tanto, sumar cada caso en LHS es igual a RHS.
Estás en el camino correcto, pero tienes una discrepancia entre elegir de a la derecha, y eligiendo de a la izquierda, así que lo que tienes no funciona del todo. Aquí hay un enfoque que funciona y es bastante similar en espíritu a lo que ha intentado.
Dejar ; claramente , entonces es el numero de subconjuntos de tamaño . Ahora veamos un término típico en el lado izquierdo. El término es el número de maneras de elegir un subconjunto de tamaño de ; ¿Cómo encaja eso con la elección de un subconjunto de tamaño de ?
Dejar ser el miembro más grande de que no elegimos para nuestro -subconjunto de tamaño; entonces hemos elegido todos los miembros de que son mas grandes que , por lo que debemos completar nuestro conjunto eligiendo miembros de que son más pequeños que , es decir, miembros del conjunto . En otras palabras, hay maneras de elegir nuestro subconjunto de tamaño de de modo que es el miembro más grande de que no está en nuestro conjunto. Y ese número más grande que no está en nuestro conjunto no puede ser más grande que , por lo que las opciones para ello son . De este modo, cuenta el subconjuntos de tamaño clasificándolos según el miembro más grande de que no contienen .
Puede ser un poco más fácil ver lo que está pasando si haces uso de la simetría para reescribir la identidad como
Dejar ser como arriba; el lado derecho de es claramente el número de subconjuntos de tamaño . Ahora deja ser un arbitrario subconjunto de tamaño de . El elemento más grande de debe ser uno de los numeros , es decir, uno de los números para . Y si es el elemento más grande de , hay formas de elegir el miembros más pequeños de . Así, el lado izquierdo de también cuenta el subconjuntos de tamaño , clasificándolos según sus elementos mayores.
La relación entre los dos argumentos es sencilla: los conjuntos que conté en el primer argumento son los complementos en de los conjuntos que conté en el segundo argumento. Hay una biyección entre el -subconjuntos de y sus complementarios -subconjuntos de , por lo que su identidad y esencialmente están diciendo lo mismo.
Dejar . Trata de encontrar la dimensión del espacio de polinomios de grado menor o igual que de dos maneras diferentes: El método A es directo y da la RHS. El método B suma los polinomios que tienen un grado exactamente igual a para .
Método A: Compruebe que el mapa es una biyección del espacio de polinomios a los subconjuntos de cardinalidad de .
Método B: Para cada encuentre un mapa similar (pero no del todo equivalente) para encontrar el número de polinomios que tienen exactamente el grado . Pista: piensa en el polinomio de grado 6 por ejemplo como . Este pensamiento te da una identificación de polinomios con grado con dibujos de bolas, con reemplazo de bolas después de cada sorteo. El truco ahora es nuevamente identificar algo como con un subconjunto de agregando a cada elemento de la lista ordenada para evitar repeticiones.
arreglar cualquier del objetos y etiquetarlos Ahora, puede o no contener todos o cualquier número del conjunto { }.
Caso 1-No contiene
esto sucederá en maneras como las cosas deben elegirse entre las restantes cosas.
Caso 2-No contiene pero contiene .
esto sucede en maneras.
Estuche r-Contiene pero no .
esto sucederá en caminos = maneras.
Caso r+1- Contiene
esto sucede en maneras.
Así, sumando obtenemos,
apestamatemáticas
Brian M Scott