Demostrar que C(r,r)+C(r+1,r)+⋯+C(n,r)=C(n+1,r+1)C(r,r)+C(r+1, r)+⋯+C(n,r)=C(n+1,r+1)C(r, r) + C(r+1, r) +\dotsb+C(n, r) = C( n+1, r+1) usando argumentos combinatorios.

Tenemos$n+1$Donuts diferentes alineados en una fila. ¿De cuántas maneras podemos elegir$r+1$de ellos para el desayuno? Se puede hacer en$\binom{n+1}{r+1}$maneras. Ahora vamos a contar de otra manera.

Podríamos elegir el que está más a la izquierda y luego elegir$r$de los restantes$n$. Esto se puede hacer en$\binom{n}{r}$maneras.

O bien, podríamos omitir el primero, elegir el segundo y luego$r$de los restantes$n-1$. Esto se puede hacer en$\binom{n-1}{r}$maneras.

Etcétera. Finalmente, podríamos saltarnos todo hasta el$r+1$desde el final, elíjalo y luego elija$r$de los restantes$r$. Esto se puede hacer en$\binom{r}{r}$maneras.

Agregar. Obtenemos nuestra suma de coeficientes binomiales, lamentablemente al revés.

Observación: Se podría hablar alternativamente de comités. Demasiado burocrático para mi gusto, he estado en demasiados comités del Departamento.