Contar puntos de intersección de círculos y líneas

Question

Contar puntos de intersección de círculos y líneas

círculos
Matemáticas
combinaciones
combinatoria
coeficientes binomiales
geometría-combinatoria

Aditya_math

Encuentre el número máximo de puntos de intersección de 7 líneas rectas y 5 círculos cuando 3 líneas son paralelas y 2 círculos son concéntricos.

Mi intento: Puntos de intersección totales = Puntos de intersección totales de líneas con líneas ( $T_{ll}$ ) + Total de puntos de intersección de círculos con círculos ( $T_{cc})$ + Total de puntos de intersección de rectas con círculos $(T_{lc})$ .

$T_{ll}$ = ${7}\choose{2}$ - ${3}\choose{2}$ = 18. Cada par de rectas se interseca una vez excepto las tres rectas paralelas.

$T_{cc}$ = $2\cdot {4\choose2}$ + $2\cdot {4\choose 2}$ = 24. Los tres círculos no concéntricos se cruzan con cada uno de los dos círculos concéntricos en 2 puntos cada uno.

$T_{lc}$ = $5 \cdot 7 \cdot 2$ = 70 . Cada línea puede cruzarse con cada círculo dos veces como máximo.

totales = 112

Pero la respuesta en el libro es 106.

creo que me equivoque al calcular $T_{lc}$ o $T_{cc}$ pero no estoy seguro.

No soy muy bueno en combinatoria (como probablemente puedas ver), así que realmente agradecería que alguien me dijera no solo la solución, sino también el proceso de pensamiento detrás de la solución y también dónde me equivoqué. Además, si tienes algunos consejos sobre cómo abordar este tipo de problemas y la combinatoria en general, házmelo saber.

¡Gracias!

Jaap Scherphuis

no entiendo como calculaste

T_{c c}

$T_{cc}$ . Parece que estás contando dos veces las intersecciones entre los tres círculos no concéntricos. ¿Por qué no hacerlo de una manera similar a como lo hiciste?

T_{l l}

$T_{ll}$ ?

Aditya_math

@JaapScherphuis sí, de hecho lo había contado en exceso, gracias

Respuestas (2)

Contar puntos de intersección de círculos y líneas

no entiendo como calculaste $T_{cc}$ . Parece que estás contando dos veces las intersecciones entre los tres círculos no concéntricos. ¿Por qué no hacerlo de una manera similar a como lo hiciste? $T_{ll}$ ?
@JaapScherphuis sí, de hecho lo había contado en exceso, gracias

cosmo5 · Answer 1

Su $T_{cc}$ está contando en exceso porque en primera $2\cdot {4 \choose 2}$ ya contaste los puntos de intersección de círculos no concéntricos. En segundo $2\cdot {4 \choose 2}$ , todavía estás contando estos. La corrección sería

2 \cdot (\binom{4}{2}) + 2 \cdot 3 = 18

$2 \cdot {4 \choose 2} + 2\cdot 3=18$

Usted además puede encontrar $T_{cc}$ de la siguiente manera, un poco más ilustrativa. Dos círculos pueden intersecarse en máximo dos puntos. Dibuja dos círculos concéntricos. Ahora introduzca el tercer círculo. Esto da $4$ puntos de intersección, dos con cada uno de los anteriores. Cuarto círculo da $6$ más puntos quinto da $8$ más puntos Entonces

T_{C C} = 4 + 6 + 8 = 18

$T_{cc}=4+6+8=18$

Muchas gracias. Así fue mi conteo de $T_{lc}$ correcto entonces?
@Aditya_math sí, porque las líneas y los círculos se pueden orientar de forma independiente, minimizando el espacio si es necesario, para obtener el máximo número de puntos.

usuario65203 · Answer 2

$7$ Las líneas pueden cruzarse en $\dfrac{7\cdot6}2=21$ puntos. Pero si $3$ son paralelos, se deduce $\dfrac{3.2}2=3$ .

$7$ lineas y $5$ los círculos pueden intersecarse en $2\cdot3\cdot5=70$ puntos.

$5$ los círculos pueden intersecarse en $2\dfrac{5\cdot4}2=20$ puntos pero si $2$ son concéntricos, se deduce $2$ .

De todos modos, este es un límite superior, no hay garantía de que todos sean posibles simultáneamente.

Contar puntos de intersección de círculos y líneas

Aditya_math

Jaap Scherphuis

Aditya_math

Respuestas (2)

cosmo5

Aditya_math

cosmo5

usuario65203

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