Demostrar que una función tiene una discontinuidad en 0 pero continua en cualquier otro lugar

Question

Demostrar que una función tiene una discontinuidad en 0 pero continua en cualquier otro lugar

continuidad
Matemáticas
numeros reales
análisis real
secuencias y series
solución-verificación

aprendizajematematicas

Dejar $f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x + 2 & -3 < x < -2 \\ -x -2 & -2 \leq x < 0 \\ x + 2 & 0 \leq x < 1 \end{array}\right.$

quiero mostrar eso $f$ tiene una discontinuidad en $x=0$ pero es continua en todos los demás puntos de $(-3,1)$

intento: si $f$ era continuo en $0$ entonces $\lim_{x \to 0}f(x) = f(0)$ . Ahora $f(0) = 2$ . No estoy seguro de cómo proceder. ¿Acabo de decir entonces $\lim_{x \to 0}f(x) = x+2$ (ya que x = 0?)

Por lo tanto, es discontinuo en $x = 0$

Para la continuidad en todos los demás puntos: sea $\epsilon > 0$ ser dado. Entonces existe $\delta > 0$ tal que $|x - y| < \delta \Rightarrow |(x+2) - (y+2)| = |x - y| < \epsilon$ (dejar $\delta = \epsilon$ ).

tambien existe $\delta > 0$ tal que $|x - y| < \delta \Rightarrow |-x -2 - (-y -2)| = |y - x| = |x - y| < \epsilon$ .

Por eso $f$ es continua en todos los demás puntos de $(-3,1)$ .

lulú

Escribir, por ejemplo,

lim_{x \to 0} f (x) = x + 2

$\lim_{x\to 0}f(x)=x+2$ . no tiene sentido. La mano izquierda no es una función de

x

$x$ .

lulú

Como sugerencia: considere los dos límites unilaterales. Para poder

f (x)

$f(x)$ ser continuo en

0

$0$ , ambos límites deben existir y deben coincidir.

Respuestas (2)

Demostrar que una función tiene una discontinuidad en 0 pero continua en cualquier otro lugar

Escribir, por ejemplo, $\lim_{x\to 0}f(x)=x+2$ . no tiene sentido. La mano izquierda no es una función de $x$ .
Como sugerencia: considere los dos límites unilaterales. Para poder $f(x)$ ser continuo en $0$ , ambos límites deben existir y deben coincidir.

Vasile · Answer 1

Para $x<0$ , $f(x)=-x-2$ y

{yo}_{X < 0} = \underset{X \to 0}{límite} F (X) = - 2

$l_{x<0}=\lim_{x\rightarrow0}f(x)=-2$

Para $x\geq0$ , $f(x)=x+2$ y

{yo}_{X \geq 0} \underset{X \to 0}{límite} F (X) = 2 \to

$l_{x\geq0}\lim_{x\rightarrow0}f(x)=2\rightarrow$

{yo}_{X < 0} \neq {yo}_{X \geq 0}

$l_{x<0}\neq l_{x\geq0}$

por lo tanto, la función tiene una discontinuidad en $0$ .

jose carlos santos · Answer 2

Desde $f(x)=-x-2$ cuando $x\in[-2,0)$ , tienes

\underset{X \to 0^{-}}{límite} F (X) = - 2 \neq F (0),

$\lim_{x\to0^-}f(x)=-2\ne f(0),$ y por lo tanto

f

$f$ es discontinuo en

0

$0$ .

El único otro punto de $(-3,1)$ en el cual $f$ podría ser discontinuo es $-2$ . Pero es continua en $-2$ desde

\underset{X \to - 2^{-}}{límite} F (X) = \underset{X \to - 2^{+}}{límite} F (X) = 0 = F (- 2) .

$\lim_{x\to-2^-}f(x)=\lim_{x\to-2^+}f(x)=0=f(-2).$

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lulú

lulú

Respuestas (2)

Vasile

jose carlos santos

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