Problema de funciones continuas

Question

Problema de funciones continuas

continuidad
Matemáticas
epsilon-delta
análisis real
solución-verificación

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Estoy autoaprendiendo Real Analysis del texto, Understanding Analysis de Stephen Abbott . Me gustaría que alguien verifique mi solución al problema de ejercicio 4.3.6 y comente si mi trabajo se verifica y si no hay errores técnicos. Además, ¿algún consejo sobre cómo proceder con (d)?

[Abbott, 4.3.6] Proporcione un ejemplo de cada uno o explique por qué la solicitud es imposible.

(a) Dos funciones $\displaystyle f$ y $\displaystyle g$ , ninguno de los cuales es continuo en $\displaystyle 0$ , pero tal que $\displaystyle f( x) g( x)$ y $\displaystyle f( x) +g( x)$ son continuos en $\displaystyle 0$ .

(b) Una función $\displaystyle f( x)$ continuo en $\displaystyle 0$ y $\displaystyle g( x)$ no continuo en $\displaystyle 0$ tal que $\displaystyle f( x) +g( x)$ es continua en $\displaystyle 0$ .

(c) Una función $\displaystyle f( x)$ es continua en $\displaystyle 0$ y $\displaystyle g( x)$ no continuo en $\displaystyle 0$ , tal que $\displaystyle f( x) \cdot g( x)$ es continua en $\displaystyle 0$ .

(d) Una función $\displaystyle f( x)$ no continuo en $\displaystyle 0$ tal que $\displaystyle f( x) +\frac{1}{f( x)}$ es continua en $\displaystyle 0$ .

(e) Una función $\displaystyle f( x)$ no continuo en $\displaystyle 0$ tal que $\displaystyle [ f( x)]^{3}$ es continua en $\displaystyle 0$ .

Solución.

(a) Considere

\begin{array}{cc} F (X) & = {\begin{cases} X^{2} + 3 & si X \neq 0 \\ 2 & si X = 0 \end{cases} \\ gramo (X) & = {\begin{cases} X + 2 & si X \neq 0 \\ 3 & si X = 0 \end{cases} \end{array}

$\begin{equation*} \begin{array}{ c c } f( x) & =\begin{cases} x^{2} +3 & \text{if } x\neq 0\\ 2 & \text{if } x=0 \end{cases}\\ g( x) & =\begin{cases} x+2 & \text{if } x\neq 0\\ 3 & \text{if } x=0 \end{cases} \end{array} \end{equation*}$ Entonces,

lim_{x \to 0} [f (x) + g (x)] = lim_{x \to 0} (x^{2} + x + 5) = 5

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}[ f( x) +g( x)] =\lim _{x\rightarrow 0}\left( x^{2} +x+5\right) =5$ . Además,

f (0) + g (0) = 5

$\displaystyle f( 0) +g( 0) =5$ . También,

lim_{x \to 0} f (x) \cdot g (x) = lim_{x \to 0} (x^{2} + 3) (x + 2) = 6

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0} f( x) \cdot g( x) =\lim _{x\rightarrow 0}\left( x^{2} +3\right)( x+2) =6$ y

f (0) \cdot g (0) = 6

$\displaystyle f( 0) \cdot g( 0) =6$ .

(b) Esta solicitud es imposible. Asumir que $\displaystyle f( x) +g( x)$ es continua en $\displaystyle 0$ y $\displaystyle f( x)$ es continua en $\displaystyle 0$ . Por lo tanto, $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0} f( x) +g( x) =f( 0) +g( 0)$ y $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0} f( x) =f( 0)$ . Entonces, $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0} g( x) =\lim _{x\rightarrow 0} f( x) +g( x) -f( x) =\lim _{x\rightarrow 0}( f( x) +g( x)) -\lim _{x\rightarrow 0} g( x) =f( 0) +g( 0) -f( 0) =g( 0)$ . Como consecuencia, $\displaystyle g( x)$ es continua en $\displaystyle 0$ .

(c) Considere $\displaystyle f( x) =x$ , $\displaystyle g( x) =\frac{1}{x}$ . Entonces, $\displaystyle f( x) \cdot g( x) =1$ que es continua en $\displaystyle 0$ .

(d) $\star$ HACER. No puedo pensar en un ejemplo aquí.

(e) Esta solicitud es imposible. Asumir que $\displaystyle f( x)$ no es continua en $\displaystyle 0$ . Entonces, existe $\displaystyle \epsilon >0$ , para todos $\displaystyle \delta >0$ , tal que siempre que $\displaystyle | x| < \delta$ , tenemos $\displaystyle | f( x) -f( 0)| >\epsilon$ .

Considere la distancia $\displaystyle \left| f( x)^{3} -f( 0)^{3}\right| =| f( x) -f( 0)| \cdot \left| f( x)^{2} -f( x) \cdot f( 0) +f( 0)^{2}\right|$ .

\begin{aligned} | F (X)^{3} - F (0)^{3} | & = | F (X) - F (0) | \cdot | F (X)^{2} - F (X) \cdot F (0) + F (0)^{2} | \\ = | F (X) - F (0) | \cdot | {(F (X) - \frac{F (0)}{2})}^{2} + \frac{3}{4} F (0)^{2} | \\ \geq \frac{3}{4} F (0)^{2} \cdot | F (X) - F (0) | = \frac{3}{4} F (0)^{2} \cdot ϵ \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{array}{ r l } \left| f( x)^{3} -f( 0)^{3}\right| & =| f( x) -f( 0)| \cdot \left| f( x)^{2} -f( x) \cdot f( 0) +f( 0)^{2}\right| \\ & =| f( x) -f( 0)| \cdot \left| \left( f( x) -\frac{f( 0)}{2}\right)^{2} +\frac{3}{4} f( 0)^{2}\right| \\ & \geq \frac{3}{4} f( 0)^{2} \cdot | f( x) -f( 0)| =\frac{3}{4} f( 0)^{2} \cdot \epsilon \end{array} \end{equation*}$ Entonces, existe un

ϵ^{'} = \frac{3}{4} f (0)^{2} \cdot ϵ

$\displaystyle \epsilon '=\frac{3}{4} f( 0)^{2} \cdot \epsilon$ , para todos

δ > 0

$\displaystyle \delta >0$ , tal que siempre que

| x | < δ

$\displaystyle | x| < \delta$ , tenemos

| f (x)^{3} - f (0)^{3} | > ϵ^{'}

$\displaystyle \left| f( x)^{3} -f( 0)^{3}\right| >\epsilon '$ .

Como consecuencia, $\displaystyle [ f( x)]^{3}$ no es continua en $\displaystyle 0$ .

Respuestas (2)

Problema de funciones continuas

jose carlos santos · Answer 1

(a) Está bien.

(b) Eso también está bien.

(c) Dado que $g$ es indefinido en $0$ , no es continuo ni discontinuo allí. Llevar $f(x)=0$ y deja $g$ Sea cualquier función discontinua en $0$ .

(d) Tomar

F (X) = {\begin{cases} 2 & si X ⩾ 0 \\ \frac{1}{2} & de lo contrario. \end{cases}

$f(x)=\begin{cases}2&\text{ if }x\geqslant0\\\frac12&\text{ otherwise.}\end{cases}$ Entonces

f

$f$ es discontinuo en

0

$0$ , pero

f + \frac{1}{f}

$f+\frac1f$ es constante

(e) Simplemente utilice el hecho de que $x\mapsto\sqrt[3]x$ es continua y que si una función $g$ es continua en $a$ y una funcion $g$ es continua en $f(a)$ , entonces $g\circ f$ también es continua en $a$ .

Para ser pedante: en (e), no podemos usar estrictamente el hecho de que la composición de dos funciones continuas es continua ya que $f^3$ solo se da como continua en $0$ . (Si estamos procediendo por contrapositivo.)
@AryamanMaithani Ese es un buen comentario. He editado mi respuesta.

Aryaman Maithani · Answer 2

(a) - (b) parecen estar bien.

Un ejemplo más fácil para (a) podría ser tomar la función $f$ cual es $1$ en racionales y $-1$ en irracionales y dejar $g = -f$ . Entonces, la suma es idéntica $0$ y el producto es identico $-1$ .

(c) Como señala la otra respuesta, su función $g$ no está definido en $0$ . Asígnele cualquier valor en $0$ y luego ya está.

Para (e): Ha negado la definición de continuidad incorrectamente.
Lo correcto sería lo siguiente: Existe $\epsilon > 0$ tal que para todos $\delta > 0$ , existe alguna $x$ con $|x| < \delta$ y $|f(x) - f(0)| \geqslant \epsilon$ .

Sin embargo, la conclusión es correcta. Aquí hay una forma alternativa de hacerlo: use el hecho de que la función $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ es continua en $\Bbb R$ y esa continuidad se comporta bien con la composición.

Para (d): He aquí un ejemplo.
Tenga en cuenta que la ecuación

t + \frac{1}{t} = 4

$t + \frac1t = 4$ tiene dos soluciones positivas distintas, digamos

t_{1}

$t_1$ y

t_{2}

$t_2$ .

Definir

F (X) = {\begin{cases} t_{1} & X \in q, \\ t_{2} & X \notin q . \end{cases}

$f(x) = \begin{cases} t_1 & x \in \Bbb Q, \\ t_2 & x \notin \Bbb Q. \end{cases}$ (

Q

$\Bbb Q$ es el conjunto de racionales.)

Entonces, $f$ no es continua en $0$ . (¿Por qué?)
Sin embargo,

F (X) + \frac{1}{F (X)} = 4

$f(x) + \frac{1}{f(x)} = 4$ para todos

x \in R

$x \in \Bbb R$ y por lo tanto, lo anterior es continuo en

0

$0$ .

Al OP: Si $f,g$ son continuos en $x$ entonces también lo son $f+g,f-g, fg,$ y $kf$ para cualquier constante $k.$ Si $f,g$ son continuos en $x$ y $g(x)\ne 0$ entonces $f/g$ es continua en $x.$

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Respuestas (2)

jose carlos santos

Aryaman Maithani

jose carlos santos

Aryaman Maithani

DanielWainfleet

δδ\delta-response para desafiar el limx→101[[x]]=110limx→101[[x]]=110\lim_{x \to 10} \frac{1}{[[x]]} = \frac {1}{10} con ϵ=12ϵ=12\epsilon=\frac{1}{2}

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