Demostrar que el supremo de una sucesión de funciones continuas es continuo

Estoy aprendiendo análisis real por cuenta propia del libro de Stephen Abbott, Comprender el análisis . El ejercicio 4.3.10 pide probar ciertos hechos sobre el supremo de una secuencia de funciones continuas. Me gustaría que alguien verifique mi solución a la parte (a) del problema y me proporcione sugerencias (spoilers), pero no la prueba completa de la parte (b) del problema.

Ejercicio 4.3.10 Observe que si$a$y$b$son números reales, entonces

$$\max \{a,b\}=\frac{1}{2}[(a+b)+\vert a - b \vert$$

(a) Demuestre que si$f_1,f_2,\ldots,f_n$son funciones continuas, entonces

$$g(x)=\max \{f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x)\}$$

es una función continua.

(b) Exploremos si el resultado en (a) se extiende al caso infinito. Para cada$n \in \mathbf{N}$, definir$f_n$en$\mathbf{R}$por

$$f_n(x)=\begin{cases}1 & \text{ if } \vert x \vert \geq 1/n \\ n \vert x \vert & \text{ if } \vert x \vert < 1/n \end{cases}$$

Ahora calcula explícitamente$h(x)=\sup\{f_1(x),f_2(x),f_3(x),\ldots\}$

Prueba.

(a) Suponga que$\displaystyle g_{k}( x) =\max\{f_{1}( x) ,f_{2}( x) ,\dotsc ,f_{k}( x)\}$es continuo Nos interesa probar que$\displaystyle g_{k+1}( x) =\max\{g_{k}( x) ,f_{k+1}( x)\}$también es continuo.

Tenemos:

$$\begin{equation*} g_{k+1}( x) =\frac{1}{2}[( g_{k}( x) +f_{k+1}( x)) +| g_{k}( x) -f_{k+1}( x)| \end{equation*}$$ Nos gustaría probar que$\displaystyle g_{k+1}( x)$es continuo

Por el teorema de la continuidad algebraica, ya que$\displaystyle g_{k}( x)$y$\displaystyle f_{k+1}( x)$son funciones continuas, la suma y la diferencia$\displaystyle g_{k}( x) +f_{k+1}( x)$y$\displaystyle g_{k}( x) -f_{k+1}( x)$son funciones continuas.

También, deja$\displaystyle f( x)$sea ​​una función continua arbitraria. Nos interesa probar que$\displaystyle | f( x)|$también es continuo.

Nos interesa hacer la distancia$\displaystyle | | f( x)| -| f( c)| |$tan pequeño como queramos. Dejar$\displaystyle \epsilon >0$ser arbitrario. Exploremos la condición$\displaystyle | | f( x)| -| f( c)| | < \epsilon$. Desde$\displaystyle | | f( x)| -| f( c)| | \leq | f( x) -f( c)|$, reemplazando$\displaystyle | | f( x)| -| f( c)| |$por$\displaystyle | f( x) -f( c)|$refuerza la condición que nos interesa probar.

queremos mostrar que$\displaystyle | f( x) -f( c)| < \epsilon$. Pero, por la definición de límites funcionales, para todos$\displaystyle \epsilon >0$, existe$\displaystyle \delta >0$, tal que para todos$\displaystyle | x-c| < \delta$, tenemos$\displaystyle | f( x) -f( c)| < \epsilon$.

En consecuencia, existe$\displaystyle \delta >0$, tal que para todos$\displaystyle | x-c| < \delta$, la condición$\displaystyle | | f( x)| -| f( c)| | < \epsilon$Está satisfecho. Entonces,$\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}| f( x)| =| f( c)|$.$\displaystyle | f( x)|$es una función continua.

Inferimos que, ambos$\displaystyle g_{k}( x) +f_{k+1}( x)$y$\displaystyle | g_{k}( x) -f_{k+1}( x)|$son continuos. Nuevamente por el teorema de continuidad algebraica,$\displaystyle g_{k+1}( x) =\frac{1}{2}[( g_{k}( x) +f_{k+1}( x)) +| g_{k}( x) -f_{k+1}( x)| ]$es continuo

(b) Intuitivamente, la secuencia de funciones$\{f_1(x),f_(x),\ldots\}$se puede graficar de la siguiente manera.

Todavía tengo que estudiar qué significa una secuencia de funciones (en el capítulo 6), pero creo que, si tomo un punto lo suficientemente cerca como para$0$, son imágenes debajo$f_1,f_2,f_3,\ldots$forman una secuencia creciente. Pero, no estoy exactamente seguro, qué argumentos de estilo de análisis debo hacer aquí.