¿Fallará la siguiente prueba de que una función continua fff de un espacio compacto X→YX→YX\rightarrow Y es uniformemente continua?

Tanto en las conferencias como en el libro (Baby Rudin) la prueba es más complicada, lo que me hace preguntarme si la siguiente prueba más sencilla que tenía en mente no funcionaría. Si es así, ¿alguien podría explicar por qué falla?

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Teorema : Sea$f:X\rightarrow Y$ser una función continua de un espacio métrico compacto$X$a$Y$, entonces$f$es uniformemente continua.

Elegí$\epsilon >0$, por continuidad para cada$x\in X$existe$\delta _x>0$tal que

$$d(x,x_0)<\delta _x\Rightarrow d(f(x),f(x_0))<\epsilon$$ para cualquier$x_0\in X$. Ahora la colección de bolas abiertas$N_{\delta _x}(x)$forma una cubierta abierta de$X$, y por lo tanto (por compacidad) debe tener una subcubierta finita$\{ N_{\delta_{x_1}}(x_1),\ldots ,N_{\delta_{x_n}}(x_n)\}$.

Dejar$\delta = \min(\delta_{x_1},\ldots ,\delta_{x_n})$. Elegir$x\in X$, entonces para cualquier$x_0\in X$tenemos

$$d(x,x_0)<\delta \Rightarrow d(x,x_0)<\delta_x\Rightarrow d(f(x),f(x_0))<\epsilon .$$