Demostración de la propiedad de Arquímedes de reales y NIP (propiedad de intervalo anidado) usando MCT

Estoy haciendo el ejercicio 2.4.4 del libro Understanding Analysisde Stephen Abbott. Me gustaría preguntar si mi prueba (especialmente la parte (a) de la pregunta) es rigurosa y técnicamente correcta.

(a) En una sección anterior, usamos el Axioma de Completitud (AoC) para demostrar la propiedad de Arquímedes de los números reales$\mathbf{R}$. Demuestre que el teorema de la convergencia monótona también se puede usar para probar la propiedad de Arquímedes sin hacer uso de AoC.

(b) Utilice el teorema de la convergencia monótona para proporcionar una prueba de la propiedad del intervalo anidado que no utilice la AoC.

Estos dos resultados sugerirían que podríamos haber usado el Teorema de la Convergencia Monótona en lugar del AoC como nuestro axioma inicial para construir una teoría adecuada de los números reales.

Prueba.

(a) La propiedad de Arquímedes establece que,$\mathbf{N}$es un conjunto ilimitado que se encuentra en$\mathbf{R}$. Dado cualquier número real$x$, existe$n \in \mathbf{N}$tal que$x < n$.

Por contradicción, supongamos que$\mathbf{N}$es un subconjunto acotado de$\mathbf{R}$. Entonces, existe un límite superior$x \in \mathbf{R}$, tal que$n < x$para todos los números naturales$n \in \mathbf{N}$. Los números naturales se definen recursivamente usando la secuencia$x_{n+1} = 1 + x_n$. Esta es una secuencia monótonamente creciente. Por eso,$\mathbf{N}$es monótona creciente y acotada, por el teorema de convergencia monótona, la sucesión$(x_n)$es convergente. Dejar$\lim x_{n+1} = \lim x_{n} = x$. Tomando límites a ambos lados, tenemos:

Esta es una declaración falsa y viola los axiomas de Peano. Además, no podemos encontrar un intervalo$V_\epsilon(x)$tal que los valores de la secuencia$(x_n)$finalmente se encontrará en este intervalo. Entonces,$(x_n)$no es una secuencia convergente$\implies$ $(x_n)$es ilimitado$\implies$ $\exists n \in \mathbf{N}$, tal que$x < n$para todos los reales$x$.

(b) La propiedad del intervalo anidado establece que la recta numérica real$\mathbf{R}$no contiene huecos. Reproduzco la declaración de NIP para completarla.

Para cada$n \in \mathbf{N}$, supongamos que tenemos un intervalo cerrado$I_n = [a_n, b_n] = \{x \in \mathbf{R}: a_n \le x \le b_n\}$. Suponga también que cada$I_n$contiene$I_{n+1}$. Entonces, la secuencia anidada resultante de intervalos cerrados

$$\begin{align*} I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq I_4 \ldots \end{align*}$$

tener una intersección no vacía; eso es

$$\begin{align*} \bigcap_{n=1}^{\infty} I_n \ne \phi \end{align*}$$

Desde,$I_n \supseteq I_{n+1}$, eso es$[a_n,b_n] \supseteq [a_{n+1},b_{n+1}]$, la secuencia que consta de los puntos finales de la izquierda$a_1,a_2,a_3,\ldots, a_n$;$(a_n)$es monótonamente creciente. Además, la secuencia$(a_n)$está delimitado arriba por$b_n$. Por el teorema de la convergencia monótona, la sucesión es convergente y$\lim_n (a_n) = s = \sup \{a_n : n \in \mathbf{N}\}$.

Desde,$s$es un límite superior para la secuencia$(a_n)$,$a_n \le s$para todos$n \in \mathbf{N}$. Además, como$s$es el límite superior mínimo$s \le b_n$para todos$n \in \mathbf{N}$. Como consecuencia,$a_n \le s \le b_n$para todos$n \in \mathbf{N}$. De este modo,$s \in I_n$para todos$n \in \mathbf{N}$, y la intersección contable de estos intervalos no está vacía.