Demostrar que ∑n−rk=0(r+kr)=(n+1r+1)∑k=0n−r(r+kr)=(n+1r+1)\sum_{k=0}^{nr } \binom{r+k}{r} = \binom{n+1}{r+1}

En realidad, una prueba algebraica es posible, aquí hay un ejemplo de una. arreglar un entero$r$. Haremos la inducción sobre$n$. Por supuesto, necesitamos tener$n \geq r$, por lo que nuestro caso base será$n=r$. En ese caso, tenemos que demostrar

$$\binom{r}{r}=\binom{n+1}{r+1}$$

Y es obvio, porque$n=r$implica$\binom{n+1}{r+1}=\binom{r+1}{r+1}=1$. Para el paso de inducción, supongamos

$$\binom{r}{r}+\binom{r+1}{r}+\dots+\binom{n}{r}=\binom{n+1}{r+1}$$

agregando$\binom{n+1}{r}$en ambos lados tenemos

$$\binom{r}{r}+\binom{r+1}{r}+\dots+\binom{n}{r}+\binom{n+1}{r}=\binom{n+1}{r+1}+\binom{n+1}{r}$$

Pero$\binom{n+1}{r}+\binom{n+1}{r+1}=\binom{n+2}{r+1}$, lo que nos da

$$\binom{r}{r}+\binom{r+1}{r}+\dots+\binom{n}{r}+\binom{n+1}{r} = \binom{n+2}{r+1}=\binom{(n+1)+1}{r+1}$$

Entonces la identidad es válida para$n+1$también. Por el principio de inducción tenemos

$$\binom{r}{r}+\binom{r+1}{r}+\dots+\binom{n}{r}=\binom{n+1}{r+1}$$

para cada$r$entero y$n\geq r$

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

Un enfoque analítico:

$$\begin{align} \sum_{k = 0}^{n - r}{r + k \choose r} & = \sum_{k = 0}^{n - r}\oint_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{r + k} \over z^{r + 1}} \,{\dd z \over 2\pi\ic} = \oint_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{r} \over z^{r + 1}} \sum_{k = 0}^{n - r}\pars{1 + z}^{k}\,{\dd z \over 2\pi\ic} \\[5mm] & = \oint_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{r} \over z^{r + 1}} {\pars{1 + z}^{n - r + 1} - 1 \over \pars{1 + z} - 1}\,{\dd z \over 2\pi\ic} \\[5mm] & = \oint_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{n + 1} \over z^{r + 2}} \,{\dd z \over 2\pi\ic} - \oint_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{r} \over z^{r + 2}} \,{\dd z \over 2\pi\ic} = {n + 1 \choose r + 1} - {r \choose r + 1} \\[5mm] & = \bbx{\ds{n + 1 \choose r + 1}} \end{align}$$