Demostrar que la independencia de fondo y la invariancia del difeomorfismo de una teoría del espacio-tiempo son equivalentes

Las ecuaciones de una teoría generalmente se pueden derivar de una acción junto con un principio de acción mínima ($\delta S=0$). La acción está dada por:

dónde$S$es un funcional de$f_1, f_2, ...$, y no es un funcional de$g_1, g_2, ...$. llamo al$g_1, g_2, ...$objetos de fondo He definido que una teoría es independiente del fondo si la acción$S$utilizado para derivar sus ecuaciones de campo no se puede definir de tal manera que no dependa de ningún objeto para el cual no sea funcional (es decir, no tiene objetos de fondo$g_1, g_2, ...$).

Un modelo de una teoría es un conjunto ordenado$<$$M, A_1, A_2, ...$$>$que representa una posible solución a las ecuaciones de la teoría. Una teoría es invariante de difeomorfismo si, para cualquier solución a las ecuaciones de la teoría$<$$M, A_1, A_2, ..., A_n, \rho$$>$,$<$$M, f^{\ast}A_1, f^{\ast}A_2, ..., f^{\ast}A_n, f^{\ast}\rho$$>$es también una solución para cualquier difeomorfismo$f$($f^{\ast}A_i$es el arrastre debajo$f$de$A_i$). El$A_1, A_2, ...$son valores particulares de la$f_1, f_2, ... g_1, g_2, ...$que resuelven las ecuaciones de la teoría (es decir, para las cuales$\delta S=0$para variaciones infinitesimales alrededor del$A_1, A_2, ...$valores).

Quiero mostrar que la independencia del fondo y la invariancia del difeomorfismo de una teoría son equivalentes (es decir, que una teoría es independiente del fondo si y sólo si es invariante del difeomorfismo). Aquí está mi intento actual, pero no estoy seguro de si es una prueba rigurosa (¡o si esta afirmación es definitivamente cierta!):

Está claro que, tal como he definido los términos, una teoría que no es independiente del fondo generalmente no será invariante de difeomorfismo, porque un difeomorfismo general$f$no dejará invariantes los objetos de fondo absolutos. Este solo será el caso para la subclase de difeomorfismos para los cuales$f^{\ast}A_i=A_i$para todos los objetos de fondo$A_i$. Quizás menos obvio es el hecho de que una teoría independiente del fondo será invariante frente al difeomorfismo. Para ver esto, tome algún modelo de una teoría independiente del fondo.$<$$M, A_1, A_2, ..., A_n, \rho$$>$(donde todos los$A_i$no deben ser objetos de fondo) y algo de difeomorfismo$h$. La acción$S$utilizado para derivar las ecuaciones de campo de la teoría viene dado por:

dónde$A_1, A_2, ..., A_n, \rho$son valores particulares de$f_1, f_2, ...$que satisfacen$\delta S=0$. Esto significa que el valor de$S$no cambia por variaciones infinitesimales alrededor del$A_1, A_2, ..., A_n, \rho$valores. Desde$f^{\ast}A_i(f(p)) \equiv A_i(p)$, y desde$S$viene dada por una integral sobre toda la variedad$M$,$S[A_1, A_2, ...]=S[f^{\ast}A_1, f^{\ast}A_2, ...]$. Además, dado que un difeomorfismo es suave, un cambio infinitesimal a$f^{\ast}A_i$corresponde a un cambio infinitesimal de$A_i$, y por lo tanto, el valor de$S$no cambiará por variaciones infinitesimales alrededor$f^{\ast}A_1, f^{\ast}A_2, ..., f^{\ast}A_n, f^{\ast}\rho$cualquiera de los dos, por lo que estos valores para$f_1, f_2, ...$también satisfacer$\delta S=0$.

¡Cualquier ayuda sería muy apreciada aquí!