¿Cuál es el propósito de enfatizar que una acción es invariante bajo difeomorfismo?

Después de revisar el libro 'Differential Geometry and Lie Groups for Physicists' de Marian Fecko en la sección 16.4.1, creo que estoy cerca de entender lo que los físicos quieren decir con invariancia de una acción bajo difeomorfismo. A continuación, explico la discusión de Marian Fecko sobre la invariancia del difeomorfismo de una acción.

Considere una teoría de campo clásica$\phi$en una variedad de Riemann$(M,g)$, dónde$g_{ab}$es su métrica. Decimos la acción natural con respecto al difeomorfismo en el siguiente sentido.

Definamos tal forma diferencial$\Omega[\phi,g]$definido a través de la acción

$$S[\phi,g]=\int_{D}\Omega[\phi,g]=\int_{D}L(\phi,\nabla\phi,g)\omega_{g}$$ dónde $D\subset M$es una subvariedad y $\omega_{g}$es la forma de volumen en $D$asociado con la métrica $g$.

Supongamos entonces que la variación de los campos y la variación de las coordenadas del espacio-tiempo se desvanecen en el límite$\partial D$. En terminología matemática, este requisito corresponde a un flujo$\Psi_{t}:M\rightarrow M$eso es arbitrario por dentro$D$pero se desvanece$\partial D$.

Decimos que la acción es invariante (o natural) bajo el difeomorfismo$\Psi_{t}$si el pull-back satisface

$$\Psi_{t}^{\ast}(\Omega[\phi,g])=\Omega[\Psi_{t}^{\ast}(\phi),\Psi_{t}^{\ast}(g)].$$

Bajo tal requisito, dado que el flujo no mueve puntos en el límite, bajo cualquier cantidad infinitesimal de variación$\Psi_{\epsilon}$generado por un campo vectorial$V$en$M$, tenemos$\Psi_{\epsilon}(D)=D$. Resulta que

$$S[\phi,g]=\int_{D}\Omega[\phi,g]=\int_{\Psi_{\epsilon}(D)}\Omega[\phi,g]=\int_{D}\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\Omega[\phi,g])$$ $$=\int_{\Psi_{\epsilon}(D)}\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\Omega[\phi,g])=\Psi_{\epsilon}^{\ast}(S[\phi,g])$$ $$=\int_{D}\Omega[\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\phi),\Psi_{\epsilon}^{\ast}(g)]=\int_{D}\Omega[\phi+\epsilon\mathcal{L}_{V}\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g]+o(\epsilon),$$ dónde $\mathcal{L}_{V}$es la derivada de Lie a lo largo del flujo, y hemos usado integración por sustitución en la primera línea. Dado que los campos clásicos deben estar en el caparazón, $\phi$extrema la acción $S[\phi,g]$. entonces tenemos $$\int_{D}\Omega[\Psi_{\epsilon}^{\ast}(\phi),\Psi_{\epsilon}^{\ast}(g)]=\int_{D}\Omega[\phi+\epsilon\mathcal{L}_{V}\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g]=\int_{D}\Omega[\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g].$$ y entonces $$S[\phi,g]=\int_{D}\Omega[\phi,g]=\Psi_{\epsilon}^{\ast}(S[\phi,g])=\int_{D}\Omega[\phi,g+\epsilon\mathcal{L}_{V}g]+o(\epsilon).$$ Por lo tanto, por definición de tensor de energía-momento, tenemos $$S[\phi,g]=S[\phi,g]-\epsilon\int_{D}\frac{1}{2}(\mathcal{L}_{V}g)_{ab}T^{ab}\omega_{g}+o(\epsilon),$$ y entonces $$\int_{D}(\mathcal{L}_{V}g)_{ab}T^{ab}\omega_{g}=0,$$ por variación arbitraria $\delta g$, concluimos que la energía-momento se conserva, es decir $\nabla_{a}T^{ab}=0$.

En resumen, la invariancia del difeomorfismo de una acción es una condición crucial para la conservación del tensor de energía-momento del sistema.

Espero que esto pueda contribuir a la comprensión de aquellos que alguna vez también se sintieron confundidos por ello. Bienvenido a aclarar cualquier error y cualquier malentendido que tenga.

Tal vez sea necesario un ejemplo simple: la acción para una partícula libre no relativista

$$S[x]~=~\int \! dt ~L, \qquad L ~=~ \frac{m}{2}\dot{x}^2,$$

no es invariante de forma bajo reparametrizaciones de tiempo

$$t\quad\longrightarrow \quad t^{\prime} ~=~f(t).$$

Por el contrario, se cree que la física fundamental moderna (como, por ejemplo, la teoría de cuerdas) es geométrica, y se espera que la formulación de la acción sea reparametrización y difeomorfismo invariantes.

En cierto sentido, tiene toda la razón: las integrales son invariantes bajo el cambio de variables. Pero en física hay un punto esencial, que no se enfatiza a menudo, que cualquier función que estés integrando está dada por una fórmula que debería funcionar en todos los sistemas de coordenadas.

En otras palabras, para hacer un cambio de variables correctamente, debe incluir un jacobiano. Pero desde un punto de vista físico, incluir un jacobiano es saber en qué sistema de coordenadas estás; de lo contrario, ¿cómo sabes que debes incluir un jacobiano? Entonces en nuestras integrales queremos que el jacobiano sea la unidad; en una variedad general esto se hace pegando el factor de$\sqrt{-g}$.

Dejame darte un ejemplo. Supongamos que tenemos la integral$\int_0^1\int_0^1\ dx\ dy$, y digamos que su resultado es físicamente significativo. Hagamos un cambio de coordenadas$x = x'^2$: de acuerdo con el teorema del cambio de variables, nuestra integral ahora se escribe como$\int_0^1\int_0^1 2x'\ dx'\ dy$. Aunque el resultado es el mismo, la integral no es invariante, porque necesito saber qué coordenadas estoy usando para saber si debo incluir la$2x'$. Se supone que la fórmula original funciona igual en todos los sistemas de coordenadas.

La función en sí también debería ser invariable, y este es otro lugar donde los físicos y los matemáticos usan la misma palabra para cosas diferentes. Para nosotros, un escalar no es solo un número; se supone que es el mismo en todos los sistemas de coordenadas. Puede quejarse de que un número como$4$es el mismo en todos los sistemas de coordenadas, pero de nuevo: en física nuestras funciones están definidas por fórmulas, y la misma fórmula debería funcionar para todos, sin importar cuáles sean sus coordenadas. Por ejemplo, si tiene una variedad bidimensional con coordenadas$(x,y)$y tienes la funcion$f(x,y)=x$, ¡entonces esta función no es un escalar! Calcularlo en diferentes coordenadas va a dar resultados diferentes.