Conversión de la acción de la gravedad de formas diferenciales a componente tensorial

No estoy seguro de sus convenciones para el tensor de Riemann o las dos formas de curvatura, pero esto debería estar bien. tenemos eso

$$\Omega^{cd} = R^{cd}{}_{\mu\nu} dx^\mu \wedge dx^\nu$$ en coordenadas locales (realmente debemos tener cuidado, ya que las coordenadas pueden no estar definidas en todas partes en la variedad). A continuación, la tétrada/vierbein satisface $e^a = e^a_\mu dx^\mu$. Así que el lado izquierdo equivale a

$$M_{pl}^2 \int_M \epsilon_{abcd}(e^a_\mu dx^\mu)\wedge (e^b_\nu dx^\nu)\wedge R^{cd}{}_{\rho\sigma}dx^\rho \wedge dx^\sigma$$

Los formularios base 1 son las únicas cosas que se preocupan por el producto de cuña/producto exterior, pero las funciones que se encuentran frente a ellos se pueden mover:

$$M_{pl}^2 \int_M \epsilon_{abcd}(e^a_\mu dx^\mu)\wedge (e^b_\nu dx^\nu)\wedge R^{cd}{}_{\rho\sigma}dx^\rho \wedge dx^\sigma = M_{pl}^2 \int_M \epsilon_{abcd}e^a_{\mu} e^b_\nu R^{cd}{}_{\rho\sigma}dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma$$

Tenga en cuenta, sin embargo, que el$dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma$es una permutación del elemento de volumen$d^4x$siempre que no haya dos índices idénticos (de lo contrario, desaparece). De este modo$dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma = \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} d^4 x$, y por lo tanto tenemos el resultado.