Semilimitación de los operadores de Schrödinger

El operador$H$está acotado por abajo si todos sus productos internos$\langle\psi,H\psi\rangle$están delimitados por abajo. Por lo tanto, podemos calcular fácilmente

$$\langle\psi,H\psi\rangle=\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}\textbf{x}\,\psi^*(\textbf{x})\left(-\Delta+V(\textbf{x})\right)\psi(\textbf{x}).$$

Integrando esta expresión por partes da

$$\langle\psi,H\psi\rangle=\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}\textbf{x}\,\left(\left|\boldsymbol{\nabla}\psi\right|^2+\psi^*(\textbf{x})V(\textbf{x})\psi(\textbf{x})\right)=\langle\boldsymbol{\nabla}\psi,\boldsymbol{\nabla}\psi\rangle+\langle\psi,V\psi\rangle\geq\langle\psi,V\psi\rangle.$$

Así, mientras$V$está acotado por abajo, entonces$H$está delimitado por abajo. Esto, por supuesto, no es una implicación bidireccional. Hay casos en los que$V$es ilimitado desde abajo pero$H$todavía está delimitado desde abajo.

¡Espero que esto ayude!

Una función potencial localmente cuadrada integrable$V\in {\cal L}^{2}_\mathrm{loc}(\mathbb{R}^{n})$no garantiza que$H$está delimitado por abajo. Considere, por ejemplo, un potencial lineal

$$V(\vec{r}) ~=~ -\vec{E}\cdot \vec{r}, \qquad \vec{E}~\neq~\vec{0}.$$