Derivada del operador de evolución temporal unitaria

Question

Derivada del operador de evolución temporal unitaria

DJA

Considere el operador de evolución temporal unitario

tu (t) = Exp (\frac{- i H t}{ℏ})

$U(t) = \exp\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)$ y su conjugado hermitiano:

tu (t)^{†} = Exp (\frac{i H t}{ℏ})

$U(t)^{\dagger} = \exp\left(\frac{iHt}{\hbar}\right)$

Las derivadas de estos operadores son las siguientes:

\frac{\partial tu (t)}{\partial t} = \frac{- i}{ℏ} H (t) tu (t)

$\frac{\partial U(t)}{\partial t} = \frac{-i}{\hbar}H(t)U(t)$

y

\frac{\partial tu (t)^{†}}{\partial t} = \frac{i}{ℏ} tu (t)^{†} H (t)

$\frac{\partial U(t)^{\dagger}}{\partial t} = \frac{i}{\hbar}U(t)^{\dagger} H(t)$

Mi pregunta es ¿por qué son los $U(t)$ y $H(t)$ en las derivadas en el orden en que están. En otras palabras, ¿por qué las derivadas del operador no son las siguientes?

\frac{\partial tu (t)}{\partial t} = \frac{- i}{ℏ} H (t) tu (t)

$\frac{\partial U(t)}{\partial t} = \frac{-i}{\hbar}H(t)U(t)$

y

\frac{\partial tu (t)^{†}}{\partial t} = \frac{i}{ℏ} H (t) tu (t)^{†}

$\frac{\partial U(t)^{\dagger}}{\partial t} = \frac{i}{\hbar} H(t)U(t)^{\dagger}$

prahar

H

$H$ viaja con

U (t)

$U(t)$ así que el orden no importa.

QuantumEyedea

@PraharMitra

H

$H$ viaja con

U (t)

$U(t)$ solo cuando el hamiloniano es independiente del tiempo (que, para ser justos, es la suposición en la pregunta). Sin embargo, cuando tienes un tiempo dependiente

H (t)

$H(t)$ el operador de evolución temporal es una exponencial ordenada en el tiempo y

H (t)

$H(t)$ ya no viaja con

U (t)

$U(t)$ (básicamente esto se debe a que en general

H (t)

$H(t)$ no conmuta consigo mismo en diferentes momentos).

prahar

@QuantumEyedea: no dije nada sobre el caso general. Está claro a partir de las fórmulas en la pregunta que el hamiltoniano en cuestión es independiente del tiempo. Si era,

U (t)

$U(t)$ no tomaría la forma que se muestra y necesitaríamos un operador de orden de tiempo allí. Una vez que tenga el operador que ordena el tiempo, podríamos conmutar nuevamente el hamiltoniano más allá de eso a costa de cambiar los tiempos en los que se evalúa. En este caso, el orden importaría y el RHS sería

H (t) U (t, t^{'})

$H(t) U(t,t')$ o

U (t, t^{'}) H (t^{'})

$U(t,t') H(t')$ y ambos son equivalentes.

Respuestas (2)

Derivada del operador de evolución temporal unitaria

@PraharMitra $H$ viaja con $U(t)$ solo cuando el hamiloniano es independiente del tiempo (que, para ser justos, es la suposición en la pregunta). Sin embargo, cuando tienes un tiempo dependiente $H(t)$ el operador de evolución temporal es una exponencial ordenada en el tiempo y $H(t)$ ya no viaja con $U(t)$ (básicamente esto se debe a que en general $H(t)$ no conmuta consigo mismo en diferentes momentos).
@QuantumEyedea: no dije nada sobre el caso general. Está claro a partir de las fórmulas en la pregunta que el hamiltoniano en cuestión es independiente del tiempo. Si era, $U(t)$ no tomaría la forma que se muestra y necesitaríamos un operador de orden de tiempo allí. Una vez que tenga el operador que ordena el tiempo, podríamos conmutar nuevamente el hamiltoniano más allá de eso a costa de cambiar los tiempos en los que se evalúa. En este caso, el orden importaría y el RHS sería $H(t) U(t,t')$ o $U(t,t') H(t')$ y ambos son equivalentes.

Kindaichi joven · Answer 1

[H, tu (t)] = 0 \Rightarrow No importa :)

$[H,U(t)]=0\Rightarrow \text{Doesn't matter :)}$

Tenga en cuenta que

En general tu (t) \neq Exp (- \frac{i H t}{ℏ})

$\text{In general } \ \ U(t)\not=\exp\left(-\frac{iHt}{\hbar}\right)$ Ha utilizado hamiltoniano dependiente del tiempo y superior no es válido para tal caso.

aakash · Answer 2

Podemos hacerlo tomando primero la derivada y luego la transpuesta conjugada.

$(\partial U/\partial t)^\dagger$ = $(-{\frac\iota \hbar} \space U(t) \space H(t))^\dagger$ y sabemos $(AB)^\dagger$ = $B^\dagger \space A^\dagger$

Entonces obtenemos,

$\frac {∂U(t)^†} {∂t}=\frac iℏU(t)^†H(t)$

así obtenemos la expresión. También podemos encontrarlo expandiendo el término exponencial y luego tomando la transpuesta conjugada de los términos expandidos. De cualquier forma, saldrá igual. Pero como se señaló, H(t) conmuta con U(t), por lo que el orden no importa si se considera que H(t) es independiente del tiempo.

Derivada del operador de evolución temporal unitaria

DJA

prahar

QuantumEyedea

prahar

Respuestas (2)

Kindaichi joven

aakash

Problema con la demostración del teorema de Ehrenfest

¿De dónde viene el iii en la ecuación de Schrödinger?

Semilimitación de los operadores de Schrödinger

Problema durante la derivación del Teorema de Ehrefest

¿Por qué la derivada del tiempo no se considera un operador en la mecánica cuántica? [duplicar]

Demostrar que el hamiltoniano dependiente del tiempo es hermitiano a partir de la unitaridad del operador de evolución temporal

¿Hay un operador de tiempo en la mecánica cuántica?

Transformación de Lorentz implementada por un operador no unitario.

¿Por qué la evolución temporal es unitaria? - La versión de la imagen de Heisenberg

Ecuación de Schroedinger para átomo de hidrógeno