Triples de enteros positivos a,b,ca,b,ca,b,c con racional c−ac+b−−−√,c+ac−b−−−√c−ac+b,c+ac−b\ sqrt{\frac{ca}{c+b}},\sqrt{\frac{c+a}{cb}}

Para obtener todas las soluciones, ayuda escribir las ecuaciones con un término que se cancela entre el numerador y el denominador (y por lo tanto no necesita ser un cuadrado como el resto de los numeradores y denominadores):

$$\left\{\begin{aligned}\frac{c-a}{c+b}&=\frac{q\times r^2}{q\times s^2}\\\frac{c+a}{c-b}&=\frac{t\times u^2}{t\times v^2}\end{aligned}\right.$$

Dividiendo eso en numeradores y denominadores separados, SageMathCell da:

$$\begin{align} a &= -\frac{s^{2} t u^{2} - {\left(2 \, t u^{2} - t v^{2}\right)} r^{2}}{2 \, {\left(r^{2} - s^{2}\right)}}\\ b &= -\frac{r^{2} t v^{2} + {\left(t u^{2} - 2 \, t v^{2}\right)} s^{2}}{2 \, {\left(r^{2} - s^{2}\right)}}\\ c &= -\frac{s^{2} t u^{2} - r^{2} t v^{2}}{2 \, {\left(r^{2} - s^{2}\right)}}\\ q &= -\frac{t u^{2} - t v^{2}}{r^{2} - s^{2}} \end{align}$$

Sage no devuelve soluciones cuando resuelve solo$a, b, c$, pero no estoy seguro de por qué. Tampoco soy lo suficientemente matemático para saber si todo lo anterior es remotamente útil.

---

Editar: como ejemplo de dónde las variables adicionales hacen que las cosas sean más agradables:

solve([q*r^2 == (14-2), q*s^2 == (14+13), t*u^2 == (14+2), t*v^2 == (14-13)], (q,s,t,v))

$$\left[q = \frac{12}{r^{2}}, s = \frac{3}{2} \, r, t = \frac{16}{u^{2}}, v = \frac{1}{4} \, u\right]$$

vs resolver para (r,s,u,v), lo que da

$$\left[r = \frac{2 \, \sqrt{3}}{\sqrt{q}}, s = -\frac{3 \, \sqrt{3}}{\sqrt{q}}, u = -\frac{4}{\sqrt{t}}, v = \frac{1}{\sqrt{t}}\right]$$

Resuelve el sistema.

$$\left\{\begin{aligned}&\sqrt{\frac{c-a}{c+b}}=\frac{k}{t}\\&\sqrt{\frac{c+a}{c-b}}=\frac{p}{s}\end{aligned}\right.$$

La solución se puede escribir como.

$$c=t^2p^2-k^2s^2$$

$$a=t^2p^2+k^2s^2-2k^2p^2$$

$$b=t^2p^2+k^2s^2-2t^2s^2$$