Demuestra que 12πi∫∂Df′(ζ)f(ζ)dζ=k1+k212πi∫∂Df′(ζ)f(ζ)dζ=k1+k2\frac{1}{2\pi i}\int_{\ parcial D} \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)}d\zeta = k_1+k_2, con orden de cero k1,k2k1,k2k_1, k_2

Question

Demuestra que 12πi∫∂Df′(ζ)f(ζ)dζ=k1+k212πi∫∂Df′(ζ)f(ζ)dζ=k1+k2\frac{1}{2\pi i}\int_{\ parcial D} \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)}d\zeta = k_1+k_2, con orden de cero k1,k2k1,k2k_1, k_2

raíces
integración
Matemáticas
análisis complejo
funciones holomorfas
cauchy-integral-formula

jacmeird

Dejar $G\subset\mathbb{C}$ un dominio y $D=D_1(0)\subset\subset G$ . Dejar $f: G\to\mathbb{C}$ holomorfo y tiene dos raíces $z_1, z_2$ con orden de cero $k_1, k_2 >0$ . Para $z\neq z_1, z_2$ dejar $f(z)\neq 0$ . Demostrar esta ecuación:
$\frac{1}{2 π i} \int_{\partial D} \frac{F^{'} (ζ)}{F (ζ)} d ζ = k_{1} + k_{2}$ $\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)}d\zeta = k_1+k_2$

Estoy realmente atascado con esta tarea. Puedo ver una similitud con la fórmula integral de Cauchy. Y sé que una antiderivada de esta función es $\log(f(\zeta))$ . Pero no sé cómo obtener una buena prueba. ¿Algún consejo o ayuda? ¡Gracias!

ian

¿Podrías hacerlo si solo hubiera un cero (para que pudieras deformar el camino a un círculo alrededor de ese cero)?

jacmeird

No, no realmente, ¡lo siento! El mayor problema para mí es obtener la coherencia entre el orden de los ceros y esta integral.

daniel pescador

Alrededor

z_{m}

$z_m$ , escribir

f (z) = (z - z_{m})^{k_{m}} \cdot g_{m} (z)

$f(z) = (z - z_m)^{k_m}\cdot g_m(z)$ con

g_{m}

$g_m$ holomorfo y

g_{m} (z_{m}) \neq 0

$g_m(z_m) \neq 0$ . Usa eso para calcular el residuo de

f^{'} / f

$f'/f$ en

z_{m}

$z_m$ .

jacmeird

¿Por qué uno puede escribir esto para

f (z)

$f(z)$ ? Y desafortunadamente no aprendimos el teorema del residuo.

rtybase

Eche un vistazo a esto en.wikipedia.org/wiki/Argument_principle

jacmeird

@rtybase Sí, miré eso, pero cómo dije que nunca aprendí el teorema del residuo en la conferencia.

Martín R.

Escribir

f (z) = (z - z_{1})^{k_{1}} (z - z_{2})^{k_{2}} g (z)

$f(z) = (z-z_1)^{k_1} (z-z_2)^{k_2} g(z)$ , dónde

g (z) \neq 0

$g(z) \ne 0$ en

G

$G$ .

jacmeird

@MartinR: He intentado resolver la integral con esto. Yo obtengo:

k_{1} k_{2} \int_{\partial D} \frac{1}{(z - z_{1}) (z - z_{2})} + yo o {gramo}_{(- π)} (gramo (z)) + C (z)

$k_1k_2\int\limits_{\partial D} \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}+log_{(-\pi)}(g(z))+c(z)$ ¡No puedo ver cómo continuar o si es correcto hasta este punto!

Respuestas (1)

Demuestra que 12πi∫∂Df′(ζ)f(ζ)dζ=k1+k212πi∫∂Df′(ζ)f(ζ)dζ=k1+k2\frac{1}{2\pi i}\int_{\ parcial D} \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)}d\zeta = k_1+k_2, con orden de cero k1,k2k1,k2k_1, k_2

¿Podrías hacerlo si solo hubiera un cero (para que pudieras deformar el camino a un círculo alrededor de ese cero)?
No, no realmente, ¡lo siento! El mayor problema para mí es obtener la coherencia entre el orden de los ceros y esta integral.
Alrededor $z_m$ , escribir $f(z) = (z - z_m)^{k_m}\cdot g_m(z)$ con $g_m$ holomorfo y $g_m(z_m) \neq 0$ . Usa eso para calcular el residuo de $f'/f$ en $z_m$ .
¿Por qué uno puede escribir esto para $f(z)$ ? Y desafortunadamente no aprendimos el teorema del residuo.
Eche un vistazo a esto en.wikipedia.org/wiki/Argument_principle
@rtybase Sí, miré eso, pero cómo dije que nunca aprendí el teorema del residuo en la conferencia.
Escribir $f(z) = (z-z_1)^{k_1} (z-z_2)^{k_2} g(z)$ , dónde $g(z) \ne 0$ en $G$ .
@MartinR: He intentado resolver la integral con esto. Yo obtengo: $k_{1} k_{2} \int_{\partial D} \frac{1}{(z - z_{1}) (z - z_{2})} + yo o {gramo}_{(- π)} (gramo (z)) + C (z)$ $k_1k_2\int\limits_{\partial D} \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}+log_{(-\pi)}(g(z))+c(z)$ ¡No puedo ver cómo continuar o si es correcto hasta este punto!

Martín R. · Answer 1

Desde $z_1, z_2$ son los únicos ceros de $f$ ,

F (z) = (z - z_{1})^{k_{1}} (z - z_{2})^{k_{2}} gramo (z)

$f(z) = (z-z_1)^{k_1} (z-z_2)^{k_2} g(z)$ para alguna función holomorfa

g : G \to C

$g: G \to \Bbb C$ que no tiene ceros en

G

$G$ . Resulta que

\frac{F^{'} (z)}{F (z)} = \frac{k_{1}}{z - z_{1}} + \frac{k_{2}}{z - z_{2}} + \frac{{gramo}^{'} (z)}{gramo (z)}

$\frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{k_1}{z - z_1} + \frac{k_2}{z - z_2} + \frac{g'(z)}{g(z)}$ y por lo tanto

\frac{1}{2 π i} \int_{\partial D} \frac{F^{'} (ζ)}{F (ζ)} d ζ = \frac{k_{1}}{2 π i} \int_{\partial D} \frac{d ζ}{ζ - z_{1}} + \frac{k_{2}}{2 π i} \int_{\partial D} \frac{d ζ}{ζ - z_{2}} + \frac{1}{2 π i} \int_{\partial D} \frac{{gramo}^{'} (ζ)}{gramo (ζ)} d ζ .

$\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)}d\zeta = \frac{k_1}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{d\zeta}{\zeta - z_1} + \frac{k_2}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{d\zeta}{\zeta - z_2} + \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{g'(\zeta)}{g(\zeta)}d\zeta \, .$ La última integral es cero porque

g^{'} / g

$g'/g$ es holomorfa en

D

$D$ , y los otros dos se pueden calcular fácilmente.

Demuestra que 12πi∫∂Df′(ζ)f(ζ)dζ=k1+k212πi∫∂Df′(ζ)f(ζ)dζ=k1+k2\frac{1}{2\pi i}\int_{\ parcial D} \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)}d\zeta = k_1+k_2, con orden de cero k1,k2k1,k2k_1, k_2

jacmeird

ian

jacmeird

daniel pescador

jacmeird

rtybase

jacmeird

Martín R.

jacmeird

Respuestas (1)

Martín R.

Integral compleja sin usar los teoremas de los residuos o el teorema de Cauchy ∫γ1(z−a)(z−b)dz∫γ1(z−a)(z−b)dz\int_{\gamma} \frac{1}{(za) (zb)} dz

Demostrar o refutar: existe una función holomorfa con la propiedad dada

Todas las raíces de un polinomio específico se encuentran dentro del disco unitario.

Hacer una integral estándar con números complejos en lugar de usar una sustitución trigonométrica

¿Cómo estimar esta integral doble similar a la función gamma incompleta?

Evaluar una integral impropia usando el teorema del residuo

|f(z1)−f(z2)|≤4MR|z1−z2||f(z1)−f(z2)|≤4MR|z1−z2||f(z_1)-f(z_2)| \leq \frac{4M}{R} |z_1-z_2|

Integración alrededor de un contorno de hueso de perro

Integrando log(−ix)exp(−ix)/x2log⁡(−ix)exp⁡(−ix)/x2\log(-ix)\exp(-ix)/x^2

integral en un semicírculo