Demostrar dos desigualdades.

¿Cómo podemos probar estas dos desigualdades? Demostré la primera pregunta que supongo se usará para probar las siguientes desigualdades, pero no sé cómo empezar. Dejar a , b , C Estar allí números reales. Demostrar que si: pecado ⁡ a + pecado ⁡ b + pecado ⁡ C ≥ 2 ⟹ porque ⁡ a + porque ⁡ b + porque ⁡ C ≤ 5 y pecado ⁡ a + pecado ⁡ b + pecado ⁡ C ≥ 3 2 ⟹ pecado ⁡ ( a − π / 6 ) + pecado ⁡ ( b − π / 6 ) + pecado ⁡ ( C − π / 6 ) ≥ 0.

La primera pregunta era probar que si X , y , z son números reales, entonces ( X + y + z ) 2 ≤ 3 ( X 2 + y 2 + z 2 ) . Probé esta parte, es un resultado directo usando X 2 + y 2 ≥ 2 X y y al expandir ( X + y + z ) 2 . Gracias por tu ayuda.

"..la primera pregunta era probar que si X , y , z Entonces sí X , y , z ¿qué? la desigualdad ( X + y + z ) 2 ≤ 3 ( X + y + z ) no se sostiene por X = y = z = 2 .
Lo siento, cometí un error, ya está corregido, los números están al cuadrado. Gracias
Sí, se usaría la primera parte... Intenta elevar al cuadrado y luego usa la desigualdad y luego usa pecado 2 ⁡ a = 1 − porque 2 ⁡ a .Entonces otra vez usa la desigualdad.
Corregir errores tipográficos en pecado ⁡ a + pecado ⁡ b + pecado ⁡ C ≥ 3 2 ⟹ porque ⁡ ( a − π / 6 ) + porque ⁡ ( a − π / 6 ) + porque ⁡ ( C − π / 6 ) ≥ 0. porque ⁡ a − π / 6 repetido dos veces. Corrija otros errores también, si los hay.
Buena corrección @Kamal. ¡Ese error fue enorme! ¿Te das cuenta?

Respuestas (1)

Parte 1:

Dejar 0 ≤ k ≤ 3 Sea cualquier número real entonces pecado ⁡ a + pecado ⁡ b + pecado ⁡ C ≥ k ⟹ ( pecado ⁡ a + pecado ⁡ b + pecado ⁡ C ) 2 ≥ k 2 (1) ⟹ 3 ( pecado 2 ⁡ a + pecado 2 ⁡ b + pecado 2 ⁡ C ) ≥ ( pecado ⁡ a + pecado ⁡ b + pecado ⁡ C ) 2 ≥ k 2 ⟹ 3 ( 1 − porque 2 ⁡ a + 1 − porque 2 ⁡ b + 1 − porque 2 ⁡ C ) ≥ k 2 ⟹ 9 − 3 ( porque 2 ⁡ a + porque 2 ⁡ b + porque 2 ⁡ C ) ≥ k 2 ⟹ 3 ( porque 2 ⁡ a + porque 2 ⁡ b + porque 2 ⁡ C ) ≤ 9 − k 2 (2) ⟹ ( porque ⁡ a + porque ⁡ b + porque ⁡ C ) 2 ≤ 3 ( porque 2 ⁡ a + porque 2 ⁡ b + porque 2 ⁡ C ) ≤ 9 − k 2 (3) ⟹ − 9 − k 2 ≤ porque ⁡ a + porque ⁡ b + porque ⁡ C ≤ 9 − k 2

donde en ( 1 ) y ( 2 ) nosotros usamos ( X + y + z ) 2 ≤ 3 ( X 2 + y 2 + z 2 )

Para tu primera pregunta hecha k = 2 y obtendrás pecado ⁡ a + pecado ⁡ b + pecado ⁡ C ≥ 2 ⟹ porque ⁡ a + porque ⁡ b + porque ⁡ C ≤ 9 − 2 2 = 5

Parte 2:

Dado que (4) pecado ⁡ a + pecado ⁡ b + pecado ⁡ C ≥ 3 2

Obtenemos, porque ⁡ a + porque ⁡ b + porque ⁡ C ≤ 9 − ( 3 2 ) 2 = 3 3 2 usando ( 3 )

Esto implica (5) − 1 2 ( porque ⁡ a + porque ⁡ b + porque ⁡ C ) ≥ − 3 3 4

Ahora usa ( 4 ) y ( 5 ) probar pecado ⁡ ( a − π / 6 ) + pecado ⁡ ( b − π / 6 ) + pecado ⁡ ( C − π / 6 ) ≥ 0

@Kamal Avíseme si ahora puede resolver la parte 2 utilizando la información anterior. Gracias.
Demostrar dos desigualdades.
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