¿Cómo se aísla θθ\theta de sin(θ)−kcos(θ)=m1m2sin⁡(θ)−kcos⁡(θ)=m1m2\sin(\theta) - k\cos(\theta) = \frac{m_1 {m_2}?

Dejar$sin{\theta} = x$.

Entonces tu ecuación se convierte en

$$x-k\sqrt{1-x^{2}} = \frac{m1}{m2}$$

Separa los términos lineales y eleva al cuadrado ambos lados.

$$(x-\frac{m1}{m2})^{2} = k^{2}(1-x^{2})$$

Ahora es una ecuación cuadrática simple que puedes resolver. Pero recuerde elegir solo aquellas soluciones que estén dentro de [-1,1] o que puedan estar dentro de [-1,1] para algunos valores de$k,m1, m2$.

Ahora cuando hayas obtenido$\sin{\theta}$, usar$\sin^{-1}$para obtener$\theta$

Se puede demostrar que cualquier expresión de la forma$a\cos(\theta)+b\sin(\theta)$($a$y$b$son constantes) se puede escribir en la forma$m\cos(\theta+c)$, dónde$m$y$c$son constantes. Concretamente, tomando$m=\text{sgn}(a)\sqrt{a^2+b^2}$y$c=-\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$, dónde$\text{sgn}(a)$denota el signo de$a$, podemos escribir

$$a\cos(\theta)+b\sin(\theta)=\text{sgn}(a)\sqrt{a^2+b^2}\cos\left(\theta-\tan^{-1}\frac{b}{a}\right)$$

Sustituyendo$a=-k$y$b=1$da

$$\begin{align*} \sin(\theta)-k\cos(\theta) &= \text{sgn}(-k)\sqrt{(-k)^2+1^2}\cos\left(\theta-\tan^{-1}\frac{1}{-k}\right)\\ &=-\text{sgn}(k)\sqrt{1+k^2}\cos\left(\theta+\tan^{-1}\frac{1}{k}\right) \end{align*}$$

Así que si$k>0$, tu ecuación se reduce a

$$-\sqrt{1+k^2}\cos\left(\theta+\cot^{-1}k\right)=\frac{m_1}{m_2}$$

Dividiendo ambos lados por$-\sqrt{1+k^2}$da$\cos\left(\theta+\cot^{-1}k\right)=-\frac{m_1}{m_2\sqrt{1+k^2}}$, siempre que$\left|-\frac{m_1}{m_2\sqrt{1+k^2}}\right|\leq 1$.

Se puede demostrar que para cualquier número real$y$con$|y|\leq 1$, las únicas soluciones a la ecuación$\cos(x)=y$son de la forma$x=2\pi m\pm\arccos(y)$para entero$m$, entonces

$$\theta+\cot^{-1}(k)=2\pi m\pm\arccos\left(-\frac{m_1}{m_2\sqrt{1+k^2}}\right)$$

El resultado deseado sigue inmediatamente.

$$\theta=2\pi m-\cot^{-1}(k)\pm\arccos\left(-\frac{m_1}{m_2\sqrt{1+k^2}}\right)$$

Es posible que desee publicar la pregunta de física que lo llevó a esta ecuación. Es probable que haya habido un error en la derivación. Sin embargo,

$$\sin \theta - k \cos \theta = m_1/m_2 = \gamma$$ $$\sin \theta - k\sqrt{1-\sin^2 \theta} = \gamma$$ $$\sin \theta - \gamma = k \sqrt{1-\sin^2 \theta}$$ $$(\sin \theta -\gamma)^2 = k^2(1-\sin^2 \theta)$$ $$\sin^2 \theta - 2\sin \theta \gamma + \gamma^2 = k^2-k^2 \sin^2 \theta$$ $$(k^2+1) \sin^2 \theta +(-2 \gamma) \sin \theta + \gamma^2 -k^2=0$$ $$\sin \theta = \frac{2\gamma \pm \sqrt{4\gamma^2 - 4(k^2+1)(\gamma^2 -k^2)}}{2(k^2+1)}$$

Dejar:

$$k=\tan \alpha \ \iff \ \alpha:=\tan^{-1}k.$$

La ecuacion

$$\sin \theta - k \cos \theta = \underbrace{m_1/m_2}_{\gamma}$$

se convierte, por multiplicación por$\cos \alpha$:

$$\cos \alpha \sin \theta - \sin \alpha \cos \theta =\gamma \cos \alpha$$

$$\sin(\theta - \alpha)=\gamma \cos \alpha \tag{1}$$

Si$\gamma \cos \alpha \in [-1,1]$, podemos establecer

$$\sin \delta:= \gamma \cos \alpha \ \iff \ \delta=\sin^{-1}(\gamma \cos \alpha)$$

La ecuación (1) se convierte en:

$$\sin(\theta - \alpha)=\sin \delta \tag{2}$$

$$\iff \begin{cases}\theta - \alpha&=&\delta+k 2 \pi\\ \theta - \alpha&=&\pi-\delta+k' 2 \pi\end{cases}$$

de donde dos expresiones para$\theta$.

Aquí hay una guía general y una explicación para problemas de su tipo:

Si tenemos una expresión,$a\sin{x}+b\cos{x}$, supongamos que se puede escribir en la forma$R\sin(x+\alpha)$Ahora para ver si podemos encontrar valores para$R$y$\alpha$en términos de$a$y$b$. Usando las fórmulas de ángulos compuestos, también conocidas como fórmulas de suma:

$$R\sin(x+\alpha)=R\sin{x}\cos{\alpha}+R\sin\alpha\cos x=a\sin{x}+b\cos{x}$$ Entonces tenemos $$R\cos\alpha=a,R\sin\alpha=b$$ Dividiendo la segunda igualdad entre la primera: $$\tan\alpha=\frac{b}{a}$$ significado que podemos encontrar$\alpha$en términos de$a$y$b$, como queríamos. Ahora, para encontrar$R$: Cuadrar el$2$igualdades arriba tenemos $$R^2\cos^2\alpha+R^2\sin^2\alpha=R^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=R^2=a^2+b^2\implies R=\sqrt{a^2+b^2}$$ Entonces, para terminar recapitulando lo que hemos aprendido: $$\tan\alpha=\frac{b}{a},R=\sqrt{a^2+b^2}$$ significado $$a\sin{x}+b\cos{x}\equiv\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\arctan{\frac{b}{a}})$$ Intenta aplicar eso a tu pregunta. Si tiene alguna pregunta, por favor pregunte!

Espero que haya sido útil :)

Nota: No siempre va a ser el caso que tomemos la raíz cuadrada positiva para$R$. Depende del signo de las cantidades.$a$y$\cos\alpha$(Podría haber elegido$b$y$\sin\alpha$también; ¿Puedes ver por qué?).